3.1.2.4. Метод «золотого сечения»

Сечение отрезка называется «золотым», если отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части к меньшей. Пусть

d – длина отрезка,

х – длина большей части отрезка, тогда «золотое сечение»:

(3.1)

Примем d = 1, тогда

(3.2)

(3.3)

Рассмотрим алгоритм метода.

Введем обозначения: а_к, b_к – границы интервала неопределенности на к-том шаге приближения к экстремуму.

Отметим на этом интервале точки у_к, z_к, причем y_к ближе к левой границе, а z_к ближе к правой границе интервала неопределенности. Точки y_к и z_к симметричны относительно центра и составляют золотое сечение отрезка а_к, b_к:

Этапы алгоритма.

1. Находят координаты точек y₀ и z₀ .

2. Вычисляется функция в точках y₀ и z₀ .

3. Отбрасывается та часть интервала неопределенности, где экстремума быть не может.

Записываются новые координаты интервала.

Рис. 3.2. Метод золотого сечения

Положим, f(y₀) > f(x₀), тогда для поиска минимума отбрасывается левая часть интервала неопределенности (а₀, y₀). В этом случае

а₁ = y₀, b₁ = b₀, y₁ = z₀,

z₁ = а₁ + b₁ – y₁ (при отбрасывании правой части объекта y₁ = а₁ + b₁ – z₁).

4. Нахождение длины нового интервала и сравнение ее с 2:

l₁ = b₁ – а₁.

При l₁  2 решение найдено;

при l₁  2 делается еще один шаг, причем на каждом последующем шаге значение функции вычисляется только в одной точке (либо в точке y_к, либо в точке z_к).

Анализ метода.

1. На каждом шаге приближения к экстремуму интервал неопределенности уменьшается примерно на 38%.

2. На каждом шаге, кроме нулевого, функция вычисляется один раз.

3. Высокая производительность. (Для нахождения экстремума с точностью  = 1% требуется вычислить функцию 11 раз.)

Пример 1.

Найти минимум унимодальной функции f(x) = х² – 5х, а₀, b₀ = 2;4,  = 0,1.

Решение.

1.

2. – отбрасываем правую часть интервала неопределенности.

3.

4. следовательно, требуется выполнить еще шаг.

5.

Пример 2.

Найти минимум функции, , ,

Решение

–отбрасываем левую часть интервала неопределенности.

_{Рис. 3.3.}

–отбрасываем правую часть интервала неопределенности и т.д.

3.1.2.5. Метод Фибоначчи

Постановка задачи.

Дано:

1. Начальный интервал неопределенности а₀, b₀;

2. Функция f(x), унимодальная на отрезке а₀, b₀;

3. Точность нахождения экстремума.

Требуется за n измерений функции найти экстремум с точностью .

Метод Фибоначчи считается самым эффективным.

Этот метод имеет тот же алгоритм, что и метод «золотого сечения», отличия заключены в координатах начальных точек:

(3.4)

где F_n и F_n+2 – n-е и (n+2)-е числа Фибоначчи.

F₁ = 1, F₂ = 1, F_n = F_n–1 + F_n–2, n = 3, 4,

F₃ = 2, F₄ = 3, F₅ = 5, F₆ = 8, F₇ = 13, F₈ = 21, F₉ = 34, F₁₀ = 55, F₁₁ = = 89, F₁₂ = 144, 

Значение n определяется при помощи неравенства

(3.5)

Пусть требуется найти экстремум с точностью 0,01. Тогда

Далее также, как и в методе «золотого сечения».

Задание для самостоятельного решения

Решить задачи, указанные в таблице 3.1. Последовательность действий:

1. Определить тип экстремума функции f(x). Для этого подсчитываются значения f(x) в нескольких внутренних точках [a₀, b₀]. На основании найденных значений определяется тип экстремума функции f(x).

2. Если функция f(x) является монотонной на отрезке [a₀, b₀], то в качестве экстремума взять «минимум».

3. Для каждого метода достаточно сделать 4-5 шагов.

4. Результаты решения по окончании счета занести в таблицу.

Таблица 3.1

№ варианта	[a0, b0]	f(x)	
1	[3,5; 4,5]		0,02
2	[1,5; 2]		0,01
3	[1; 1,5]		0,05
4	[–5; –4]		0,02
5	[0,5; 1]		0,05
6	[0; 1]		0,1
7	[–3; –2]		0,1
8	[0,1; 2]		0,01
9	[–1,5; –1]		0,01
10	[1,5; 2]		0,02
11	[0; 0,5]		0,01
12	[–1; 0]		0,1
13	[–1; 2]		0,01
14	[0; 3]		0,01
15	[1,5; 2]		0,02
16	[1,5; 2]		0,05
17	[0,5; 1]		0,05
18	[0,5; 1]		0,05
19	[–3; –2]		0,05
20	[3; 5]		0,01