Задания для самостоятельного решения

Дано:

1. Объект управления, описывающийся дифференциальным уравнением

,

где у – выходной параметр; U – функция управления.

2. Критерий оптимальности – максимальное быстродействие, т.е.

,

где [0; T] – временной интервал управления.

3. Ограничение на управление: .

4. Координаты начальной точки, в которой находится объект управления , где

.

5. Конечная точка – начало координат фазовой плоскости.

Требуется: найти такую функцию управления , при которой объект из начальной точки в конечную (начало координат фазовой плоскости) переходит за минимальное время.

Задачу целесообразно решать в следующей последовательности:

1. Уравнение объекта представить в виде системы дифференциальных уравнений в фазовых координатах:

2. К полученной системе дифференциальных уравнений добавить уравнение

3. К найденной системе применить принцип максимума Понтрягина.

4. Найти функции

5. На фазовой плоскости отметить начальную точку.

6. Определить начальную траекторию движения, а затем момент времени переключения.

7. Найти конечную траекторию движения.

№ варианта	Координаты начальной точки
1	(0,5; 0,5)
2	(1; 0,2)
3	(–0,5; 0,7)
4	(–1,2; 1,5)
5	(–1,5; 0,5)
6	(–1,7; 1,9)
7	(–2; 1,5)
8	(–2,1; 1,1)
9	(–1,5; –0,5)
10	(–1,7; –1,2)
11	(–1,4; –1,4)
12	(–2,0; –1,2)
13	(1,2; –1,2)
14	(1,5; –1,5)
15	(–2; –1,4)
16	(–2,3;2)
17	(2,8;–1)
18	(0,5;2,5)
19	(–1,3;–1)
20	(0,5;–1,4)

Пример.

Дан объект второго порядка, имеющий два нулевых корня. Найти оптимальное по быстродействию управление, при котором объект из любой точки фазовой плоскости переходил бы в начало координат за минимальное время.

Решение.

Первоначальное управление u = –1, после переключения u = 1.

1. Находится начальная и конечная траектория движения.

Для рассматриваемого случая:

начальная траектория y₁ = – 0,5 y₂² + S₂,

конечная траектория y₁ = 0,5 y₂².

2. Подставляются координаты начальной точки y₁(0) = y₁₀, y₂(0)= y₂₀, в уравнения для фазовых координат при управлении и = –1 , находим постоянные A₁, A₂, S₂:

3. Нахождение времени переключения. Для этого используется равенство

y₁ = 0,5 y₂² (уравнение линии переключения):

4. Находится координаты точки переключения:

5. Находится коэффициенты K₁ и K₂ , решив систему уравнений:

6. Находится время прихода в конечную точку из уравнения:

Оптимальная траектория движения изображена на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Оптимальная траектория движения

Список литературы

1. Панов В.А. Математические основы теории систем. Методы оптимизации / В.А. Панов. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та , 1999. – 76 с.

2. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. — М.: Издательский дом "Вильяме", 2005. — 912 с.

3. Лесин В.В. Основы методов оптимизации / В.В. Лесин, Ю.П. Лисовец. – М., 1995. – 344 с.

4. Бронштейн И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М., Наука, 1980. – 976 с.

5. Ногин В.Д. Основы теории оптимизации / В.Д. Ногин и др. – М., ВШ, 1986. – 384 с.

6. Кротов В.Ф. Основы теории оптимального управления / Под ред. В. Ф. Кротова. – М., ВШ, 1990. – 430 с.

Учебное издание