Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
146
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
5.33 Mб
Скачать

4.4. Решение задач вариационного исчисления с ограничениями

Пример.

Найти кратчайшее расстояние между двумя точками, лежащими на сфере:

–целевая функция,

–уравнение сферы,

–координаты точек.

Постановка задачи в общем виде (для функционала, зависящего от функций y(x) и z(x)).

ограничение (уравнение связи)  (x, y, z) = 0 (ограничимся сначала одним уравнением связи);

граничные условия: y (x0) = y0, z (x0) = z0,

y(x1) = y1, z(x1) = z1. (4.14)

Требуется найти такие функции y(x) и z(x), при которых функционал достигает экстремума и выполняются ограничения и граничные условия.

Решение.

Дадим функциям y(x) и z(x) приращения y и z, удовлетворяющие следующим условиям: y и z не равны нулю только в некоторой точке хc (x0 < xc < x1), приращения должны удовлетворять ограничениям (уравнениям связи).

По аналогии с (4.7) найдем вариации функционала при данных приращениях функций.

и во всех точках, кроме хс (уравнение Эйлера), кроме того,

и , следовательно,

Введем обозначения:

тогда (4.15)

(4.16)

Выразим 1 и 2 из уравнения связи:

(x, y, z) = 0,

(x, y +у, z +z) = 0 (согласно условиям задания приращений y и z),

(x, y +у, z +z) – (x, y, z) = 0.

Проинтегрируем обе части уравнения по х:

Функцию(x, y + у, z + z) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки хс:

Тогда для точки х = xc:

, , следовательно, их можно вынести за знак интеграла:

Осуществив замену согласно (4.15), получим следующее выражение:

или (4.17)

Подставим (4.17) в (4.16):

Положим, что точка хс – текущая точка х. Найдем, при каких условиях приращение функционала будет равно нулю. Эти условия будут решением поставленной задачи.

Поделим обе части уравнения на 1 (1 ≠ 0):

(4.18)

Введем обозначение:

(4.19)

С учетом (4.19) уравнение (4.18) примет вид:

Домножим (4.19) на z:

Таким образом, получаем следующее решение исходной задачи:

(4.20)

Та же система получится, если проделать следующие действия.

  1. Составляем функцию Лагранжа:

L = f(x, y, z, y, z) + (х)(x, y, z) .

  1. Подставляем L в формулу Эйлера:

(4.21)

Система (4.21) является тождественной системе (4.20). Следовательно, задача (4.14) решается с помощью (4.21) при заданных граничных условиях.

4.5. Изопериметрическая задача

Постановка задачи:

(4.22)

{ограничение имеет вид определенного интеграла}, y (x0) = y0, y (x1) = y1.

Задача называется изопериметрической, так как к этому виду сводится следующая задача: среди кривых равного периметра найти такую, которая ограничивает максимальную площадь.

Предположим, что в ограничении верхний предел интегрирования – текущая точка х, тогда Z является функцией от х.

Получили ограничение вида  = 0, следовательно, можно воспользоваться решением предыдущей задачи (4.21):

L = f(x, y, y) + (х)(K(x, y, y) – Z(х)).

Неизвестные функции y(x) и z(x) находятся из системы уравнений:

(4.23)

Lz = 0, Lz = –(х), при этом второе уравнение системы (4.23) примет вид:

, или (для любой изопериметрической задачи).

Постановка задачи для нескольких ограничений:

ограничения, (4.24)

y(x0) = y0, y(x1) = y1 – граничные условия.

Алгоритм решения изопериметрической задачи.

1. Составляется функция Лагранжа

(4.25)

  1. Составляется дифференциальное уравнение Эйлера:

, (4.26)

  1. Решается дифференциальное уравнение и находится неизвестная функция.

  2. Исходя из граничных условий и ограничений, находятся постоянные интегрирования.

Пример.

Среди всех кривых длины l, соединяющих точки А и В на плоскости, найти кривую, ограничивающую совместно с отрезком АВ максимальную площадь (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Графические иллюстрация изопараметрической задачи

Решение.

I – площадь под кривой.

y(a) = 0, y(b) = 0.

1. Составляем функцию Лагранжа:

2. Запишем уравнение Эйлера для функции Лагранжа:

3. Решаем дифференциальное уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Воспользуемся табличным интегралом:

–уравнение окружности с центром в точке (С1, С2) и радиусом .

Неизвестные постоянные: С1, С2 и . Для их нахождения используем три условия:

у(а) = 0, у(b) = 0,

Соседние файлы в папке МОТС