- •В.А. Панов математические основы теории систем. Методы оптимизации
- •Содержание
- •1. Основные понятия и определения 6
- •2. Линейное программирование 13
- •3. Нелинейное программирование 53
- •4. Вариационное исчисление 91
- •5. Оптимальное управление 109
- •Введение
- •1. Основные понятия и определения
- •1.1. Оптимизационная задача
- •1.2. Допустимое решение
- •1.6.1. Частные критерии
- •1.6.2. Обобщенные критерии
- •Обобщенный аддитивный критерий
- •Обобщенный мультипликативный критерий
- •1.6.3. Минимаксные критерии
- •1.7. Общая характеристика методов поиска экстремума
- •Краткая характеристика методов и задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Стандартный вид задачи линейного программирования (злп)
- •2.2. Способы приведения задачи линейного программирования к стандартному виду
- •2.3. Графический метод решения задач линейного программирования
- •2.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •2.4.1. Канонический вид злп
- •2.4.2. Симплекс-таблица, соответствующая каноническому виду
- •2.4.3. Нахождение координат вершины допустимого многогранника по каноническому виду (симплекс-таблице)
- •2.4.4. Алгоритм решения злп с помощью симплекс-метода
- •Задание для самостоятельной работы
- •2.5. Приведение злп к каноническому виду
- •2.5.1. Метод искусственного базиса
- •2.6. Алгоритм двойственного симплекс-метода
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.7. Целочисленное линейное программирование
- •2.7.1. Метод сечения Гомори
- •2.8. Транспортная задача
- •2.8.1. Постановка задачи
- •2.8.2. Математическое описание задачи
- •2.8.3. Транспортная таблица
- •2.8.4. Таблица издержек
- •2.8.5. Метод «северо-западного» угла
- •2.8.6. Алгоритм решения транспортной задачи
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Нелинейное программирование
- •3.1.2.2 Метод ненаправленного поиска
- •3.1.2.3. Метод дихотомии (деление отрезка пополам)
- •3.1.2.4. Метод «золотого сечения»
- •3.1.2.5. Метод Фибоначчи
- •Задание для самостоятельного решения
- •3.2. Графический метод решения задач нелинейного программирования
- •Целевая функция линейная, ограничения нелинейны
- •Ограничения линейные, целевая функция нелинейна
- •3.3. Задачи дробно-линейного программирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •3.4. Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных
- •3.4.1. Аналитический метод
- •3.4.2. Итерационные методы
- •3.4.2.1. Метод покоординатного спуска
- •3.4.2.2. Метод наискорейшего спуска
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение задач нелинейного программирования с ограничениями-равенствами
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Задание для самостоятельной работы
- •3.6. Задачи квадратичного программирования
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.7. Метод условного градиента
- •5. X1, x2,xn 0. (3.25)
- •X1, x2,xn 0.
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.8. Метод штрафных функций
- •4. Вариационное исчисление
- •4.1. Формула Эйлера-Лагранжа
- •4.2. Частные случаи формулы Эйлера
- •4.3. Обобщенная задача вариационного исчисления
- •4.4. Решение задач вариационного исчисления с ограничениями
- •4.5. Изопериметрическая задача
- •4.6. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
- •Задание для самостоятельного решения
- •5. Оптимальное управление
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Классификация задач оптимального управления
- •5.3. Принцип максимума Понтрягина
- •5.4. Задача о максимальном быстродействии
- •Задания для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Основы теории оптимизации в.А. Панов
4.4. Решение задач вариационного исчисления с ограничениями
Пример.
Найти кратчайшее расстояние между двумя точками, лежащими на сфере:
–целевая функция,
–уравнение сферы,
–координаты точек.
Постановка задачи в общем виде (для функционала, зависящего от функций y(x) и z(x)).
ограничение (уравнение связи) (x, y, z) = 0 (ограничимся сначала одним уравнением связи);
граничные условия: y (x0) = y0, z (x0) = z0,
y(x1) = y1, z(x1) = z1. (4.14)
Требуется найти такие функции y(x) и z(x), при которых функционал достигает экстремума и выполняются ограничения и граничные условия.
Решение.
Дадим функциям y(x) и z(x) приращения y и z, удовлетворяющие следующим условиям: y и z не равны нулю только в некоторой точке хc (x0 < xc < x1), приращения должны удовлетворять ограничениям (уравнениям связи).
По аналогии с (4.7) найдем вариации функционала при данных приращениях функций.
и во всех точках, кроме хс (уравнение Эйлера), кроме того,
и , следовательно,
Введем обозначения:
тогда (4.15)
(4.16)
Выразим 1 и 2 из уравнения связи:
(x, y, z) = 0,
(x, y +у, z +z) = 0 (согласно условиям задания приращений y и z),
(x, y +у, z +z) – (x, y, z) = 0.
Проинтегрируем обе части уравнения по х:
Функцию(x, y + у, z + z) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки хс:
Тогда для точки х = xc:
, , следовательно, их можно вынести за знак интеграла:
Осуществив замену согласно (4.15), получим следующее выражение:
или (4.17)
Подставим (4.17) в (4.16):
Положим, что точка хс – текущая точка х. Найдем, при каких условиях приращение функционала будет равно нулю. Эти условия будут решением поставленной задачи.
Поделим обе части уравнения на 1 (1 ≠ 0):
(4.18)
Введем обозначение:
(4.19)
С учетом (4.19) уравнение (4.18) примет вид:
Домножим (4.19) на z:
Таким образом, получаем следующее решение исходной задачи:
(4.20)
Та же система получится, если проделать следующие действия.
Составляем функцию Лагранжа:
L = f(x, y, z, y, z) + (х)(x, y, z) .
Подставляем L в формулу Эйлера:
(4.21)
Система (4.21) является тождественной системе (4.20). Следовательно, задача (4.14) решается с помощью (4.21) при заданных граничных условиях.
4.5. Изопериметрическая задача
Постановка задачи:
(4.22)
{ограничение имеет вид определенного интеграла}, y (x0) = y0, y (x1) = y1.
Задача называется изопериметрической, так как к этому виду сводится следующая задача: среди кривых равного периметра найти такую, которая ограничивает максимальную площадь.
Предположим, что в ограничении верхний предел интегрирования – текущая точка х, тогда Z является функцией от х.
Получили ограничение вида = 0, следовательно, можно воспользоваться решением предыдущей задачи (4.21):
L = f(x, y, y) + (х)(K(x, y, y) – Z(х)).
Неизвестные функции y(x) и z(x) находятся из системы уравнений:
(4.23)
Lz = 0, Lz = –(х), при этом второе уравнение системы (4.23) примет вид:
, или (для любой изопериметрической задачи).
Постановка задачи для нескольких ограничений:
ограничения, (4.24)
y(x0) = y0, y(x1) = y1 – граничные условия.
Алгоритм решения изопериметрической задачи.
1. Составляется функция Лагранжа
(4.25)
Составляется дифференциальное уравнение Эйлера:
, (4.26)
Решается дифференциальное уравнение и находится неизвестная функция.
Исходя из граничных условий и ограничений, находятся постоянные интегрирования.
Пример.
Среди всех кривых длины l, соединяющих точки А и В на плоскости, найти кривую, ограничивающую совместно с отрезком АВ максимальную площадь (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Графические иллюстрация изопараметрической задачи
Решение.
I – площадь под кривой.
y(a) = 0, y(b) = 0.
1. Составляем функцию Лагранжа:
2. Запишем уравнение Эйлера для функции Лагранжа:
3. Решаем дифференциальное уравнение
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Воспользуемся табличным интегралом:
–уравнение окружности с центром в точке (С1, С2) и радиусом .
Неизвестные постоянные: С1, С2 и . Для их нахождения используем три условия:
у(а) = 0, у(b) = 0,