4.1. Формула Эйлера-Лагранжа

Дана следующая задача:

–функционал, (4.1)

начальные условия: y(x₀ ) = y₀, y(x₁ ) = y₁.

Требуется найти такую функцию у(х), проходящую через точки (x₀, y₀) и (x₁, y₁), при которой данный функционал достигает максимума.

Решим задачу в общем виде.

Предположим, что функция у(х) доставляет экстремум функционалу. Зададим функции у(х) приращение у такое, что у = 0 в точках х₀ и х₁ и у  0 в других точках.

Найдем приращение функционала:

(4.2)

Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора:

(4.3)

где R₁ – остаток. Тогда, используя (4.3):

Приращение функции в точке экстремума равно нулю. По аналогии, если функция у(х) доставляет экстремум функционалу, то I = 0. I – главная часть приращения (первая вариация функционала).

I = 0, следовательно

(4.4)

Второй интеграл уравнения (4.4) проинтегрируем по частям:

, так как y в точках х₁ и х₀ равняется нулю. Следовательно,

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Интеграл (4.7) равен нулю, если равно нулю выражение в скобках:

или

(4.8)

Выражение (4.8) есть формула Эйлера-Лагранжа или Эйлера.

Чтобы решить задачу вариационного исчисления, нужно решить дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа (4.7) с граничными условиями: y(x₀) = y₀, y(x₁) = y₁.

Тип экстремума определяется условиями Лежандра:

f_yy  0, I  min, f_yy  0, I  max. (4.9)

Пример.

Требуется найти функцию, доставляющую экстремум функционалу и определить вид экстремума.

Решение.

1. Запишем формулу Эйлера: ,

2. Решаем полученное дифференциальное уравнение:

– 12x – 2y = 0,

y = – 6x,

y = – 3x² + c₁,

y =– x³ + c₁x + c₂

Определяем константы: y(0) = c₂ = 0

y(1) = – 1 + c₁ = 1, c₁ = 2,

y(x) = – x³ + 2x.

3. Определение типа экстремума: f_yy = (2y)_y = 2, следовательно, при найденной функции у(х) функционал достигает максимума.

4.2. Частные случаи формулы Эйлера

Рассмотрим частные случаи формулы Эйлера:

1. Подынтегральная функция f не зависит от у: f (x, y).

Формула Эйлера примет вид:

(4.10)

Пример 1.

_{Решение.}

Из начальных условий находим константы:

Ответ: у = х.

2. Подынтегральная функция f не зависит явно от х: f (у, y).

Найдем производную по х от выражения (f – y f_y):

(f – y f_y) = y f_y + y f_y – y f_y – y (f_y)_x = y (f_y –f_y).

Здесь y (f_y –f_y) – формула Эйлера. Тогда (f – y f_y ).

Т.к. производная от выражения равна нулю, то выражение равно константе, отсюда

f – y f_y = C. (4.11)

Пример 2. (См. задачу о кривой на плоскости, по которой скатывается шар).

Будем искать решение этого дифференциального уравнения в параметрической форме: х(t), y(t). Воспользуемся следующей подстановкой: .

Из тригонометрии:

Применим подстановку:

Найдем зависимость x(t). Продифференцируем полученное выражение для y(t) по х:

{производная от сложной функции}.

Но согласно примененной подстановке

Таким образом,

Проинтегрируем полученное уравнение:

Решением задачи является уравнение циклоиды:

Рис. 4.1. Циклоида

4.3. Обобщенная задача вариационного исчисления

В обобщенной задаче подынтегральная функция зависит от п функций и их производных по х:

(4.12)

граничные условия: y_i(x₀ ) = y_i0, y_i(x₁) = y_i1, i = 1,n.

Решение задачи является решением системы дифференциальных уравнений Эйлера:

(4.13)

сграничными условиями:y_i(x₀ ) = y_i0, y_i(x₁) = y_i1, i = 1,n.

Пример.

Найти функции y₁ и y₂, при которых функционал достигает экстремума и выполняются граничные условия.

Решение.

Составим систему уравнений Эйлера:

составим характеристическое уравнение:

для

для

C₁, C₂, C₃, C₄ находятся из граничных условий.