- •В.А. Панов математические основы теории систем. Методы оптимизации
- •Содержание
- •1. Основные понятия и определения 6
- •2. Линейное программирование 13
- •3. Нелинейное программирование 53
- •4. Вариационное исчисление 91
- •5. Оптимальное управление 109
- •Введение
- •1. Основные понятия и определения
- •1.1. Оптимизационная задача
- •1.2. Допустимое решение
- •1.6.1. Частные критерии
- •1.6.2. Обобщенные критерии
- •Обобщенный аддитивный критерий
- •Обобщенный мультипликативный критерий
- •1.6.3. Минимаксные критерии
- •1.7. Общая характеристика методов поиска экстремума
- •Краткая характеристика методов и задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Стандартный вид задачи линейного программирования (злп)
- •2.2. Способы приведения задачи линейного программирования к стандартному виду
- •2.3. Графический метод решения задач линейного программирования
- •2.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •2.4.1. Канонический вид злп
- •2.4.2. Симплекс-таблица, соответствующая каноническому виду
- •2.4.3. Нахождение координат вершины допустимого многогранника по каноническому виду (симплекс-таблице)
- •2.4.4. Алгоритм решения злп с помощью симплекс-метода
- •Задание для самостоятельной работы
- •2.5. Приведение злп к каноническому виду
- •2.5.1. Метод искусственного базиса
- •2.6. Алгоритм двойственного симплекс-метода
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.7. Целочисленное линейное программирование
- •2.7.1. Метод сечения Гомори
- •2.8. Транспортная задача
- •2.8.1. Постановка задачи
- •2.8.2. Математическое описание задачи
- •2.8.3. Транспортная таблица
- •2.8.4. Таблица издержек
- •2.8.5. Метод «северо-западного» угла
- •2.8.6. Алгоритм решения транспортной задачи
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Нелинейное программирование
- •3.1.2.2 Метод ненаправленного поиска
- •3.1.2.3. Метод дихотомии (деление отрезка пополам)
- •3.1.2.4. Метод «золотого сечения»
- •3.1.2.5. Метод Фибоначчи
- •Задание для самостоятельного решения
- •3.2. Графический метод решения задач нелинейного программирования
- •Целевая функция линейная, ограничения нелинейны
- •Ограничения линейные, целевая функция нелинейна
- •3.3. Задачи дробно-линейного программирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •3.4. Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных
- •3.4.1. Аналитический метод
- •3.4.2. Итерационные методы
- •3.4.2.1. Метод покоординатного спуска
- •3.4.2.2. Метод наискорейшего спуска
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение задач нелинейного программирования с ограничениями-равенствами
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Задание для самостоятельной работы
- •3.6. Задачи квадратичного программирования
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.7. Метод условного градиента
- •5. X1, x2,xn 0. (3.25)
- •X1, x2,xn 0.
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.8. Метод штрафных функций
- •4. Вариационное исчисление
- •4.1. Формула Эйлера-Лагранжа
- •4.2. Частные случаи формулы Эйлера
- •4.3. Обобщенная задача вариационного исчисления
- •4.4. Решение задач вариационного исчисления с ограничениями
- •4.5. Изопериметрическая задача
- •4.6. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
- •Задание для самостоятельного решения
- •5. Оптимальное управление
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Классификация задач оптимального управления
- •5.3. Принцип максимума Понтрягина
- •5.4. Задача о максимальном быстродействии
- •Задания для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Основы теории оптимизации в.А. Панов
Обобщенный мультипликативный критерий
В выражение этого критерия входит произведение выходных параметров объекта:
,
где – выходные параметры, требующие максимизации; – выходные параметры, требующие минимизации.
Для примера микросхемы критерий оптимальности
(1.7)
Задача оптимизации микросхемы для этого критерия состоит в том, чтобы найти такой вектор внутренних параметров (значения резисторов и емкостей), при котором критерий оптимальности Q максимален.
1.6.3. Минимаксные критерии
В этих критериях минимизируется максимальный выходной параметр
(1.8)
Положим – отклонение реальной характеристики от идеальной,i – номер точки на кривой. В этом случае суть критерия состоит в том, чтобы найти такую характеристику, максимальное отклонение которой от идеальной кривой было бы минимальным.
В группу минимаксных критериев также входят максиминные критерии:
(1.9)
Пример. Пусть – выходное напряжение логических элементов некоторого объекта. Требуется рассчитать схему так, чтобы минимальное выходное напряжение в разных точках логической схемы было как можно больше.
Нужно заметить, что объект, оптимальный по одному критерию, может быть неоптимальным по другому критерию.
1.7. Общая характеристика методов поиска экстремума
Основные методы поиска экстремума можно разделить на следующие группы (рис. 1.5).
Краткая характеристика методов и задач
Линейное программирование – задачи, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями. Признаки линейности: переменные входят в выражения только в первой степени, отсутствуют произведения переменных.
Нелинейное программирование – задачи, в которых либо целевая функция, либо ограничения нелинейные.
Вариационное исчисление занимается нахождением таких функций, которые доставляют экстремум некоторому функционалу (например, интегралу). Решением задачи вариационного исчисления является функция.
Оптимальное управление – частный случай задач вариационного исчисления. В этих задачах требуется найти функцию управления.
Если в задаче на поиск экстремума присутствуют ограничения, то это задача на поиск условного экстремума. Если же таковых ограничений нет, то задача на поиск безусловного экстремума.
Часто для решения задачи требуется нахождение производных. Если нахождения производных не требуется, то метод относится к нулевому порядку, если требуется производная первого порядка, то говорят о методе первого порядка, и т.д.
В аналитических методах используется производная в виде функции. В численных методах нахождение производной как функции не требуется, хотя в задачах может находиться значение производной в некоторой точке численными методами.
В случайных методах для поиска экстремума используют случайные функции и величины. В детерминированных методах используются неслучайные функции.
Итерационные методы – пошаговые методы поиска экстремума. В неитерационных методах экстремум находится за один шаг.
линейное условные локальные
программирование
безусловные глобальные
нелинейное
программирование
вариационное
исчисление
оптимальное нулевого
управление итерационные порядка аналитические детерминированные
неитерационные первого численные случайные
порядка
второго
порядка
Рис. 1.5. Классификация методов поиска экстремума