Рис. 5. Силы, действующие на математический маятник в поле тяжести
вторая часть войдет в функцию типа Run_Beats. Если у Вас не получится выполнить это задание самостоятельно, ознакомьтесь с текстами функций в директории WAVEPAK.
3.Об использовании безразмерных переменных
Во многих задачах бывает полезно вводить безразмерные переменные. (Это относится, разумеется, не только к работам с применением компьютера.) Показать, как это можно сделать и чем это удобно, лучше всего на конкретном примере.
Рассмотрим задачу о движении математического маятника – грузика массы m, подвешенного в поле тяжести на невесомом стержне длины l (рис. 5). Будем считать также, что маятник движется в одной плоскости.
Пусть на маятник действуют сила трения, пропорциональная скорости грузика, Fтр = −Av, и внешняя переменная сила F (t) = F cos Ωt, направленная горизонтально. (Можно представлять, что маятник помещен в большой плоский конденсатор с вертикальными пластинами, к которым приложено переменное напряжение, а на грузике находится постоянный заряд). Для удобства сопоставления с текстом программы мы обозначаем угол отклонения маятника от вертикального направления x.
Для угла отклонения нити от вертикали можно записать уравнение
ml |
d2x |
= −mg sin x − Al |
dx |
+ F cos x cos Ωt. |
(1) |
dt2 |
dt |
22
В отсутствие силы трения и внешней переменной силы период малых колебаний
маятника равен, как известно, 2π l/g.
Введем вместо времени t новую переменную τ согласно соотношению t = l/gτ; переменная τ оказывается, очевидно, безразмерной. Тогда уравнение (1) приводит-
ся к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2x |
= − sin x − a |
dx |
+ f cos x cos ωτ, |
(2) |
|||||||||||
|
dτ2 |
dτ |
|
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ω = Ω |
|
|
|
|
|
|
|
a = A |
|
l |
, f = F |
|
l |
– |
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
m |
g |
|
mg |
g |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
безразмерные величины.
Такое преобразование обнаруживает некоторые законы подобия: зависимость x(τ) (при заданных x(0), dx/dτ(0)) оказывается одной и той же при разных значениях m, l, g, A, F, Ω, если одинаковы составленные из них безразмерные комбинации a, f, ω. Этот факт позволяет существенно сократить объем полного исследования задачи, так как достаточно рассматривать различные значения трех параметров вместо шести. Иначе говоря, результаты исследования одного маятника можно перенести на другие простым изменением масштабов.
Кроме того, при численном определении решения уравнения (2) мы не будем, как правило, иметь дело с величинами, отличающимися друг от друга на много порядков, в то время как для уравнения (1) это вполне могло бы получиться при неудачном выборе единиц измерения. И хотя наш компьютер работает с «размахом» от -308 порядка (realmin) до 308 (realmax), лучше эту возможность не использовать без необходимости. Это позволит, в частности, не осложнять грубые оценки, выполняемые без компьютера.
Переход от уравнения (1) к (2) можно оформить и несколько иначе. Вместо обычных единиц измерения длины, массы и времени выберем «естественные» для данного маятника. За единицу длины примем его длину, за единицу массы – его
массу, а единицу времени выберем такой, чтобы было g = 1 (т.е. равной l/g). Подставив l = m = g = 1 в (1), мы получим уравнение вида (2), в котором величины t, A, F и Ω подразумеваются выраженными в этих «естественных» единицах. Принимая для этих величин обозначения τ, a, f, ω, приходим к (2). Чтобы получить на этом пути соотношения (3), нужно построить из l, m, g множители необходимой размерности. Скажем, сила имеет размерность mg, поэтому запишем F = mgf. Это равенство справедливо в «естественных» единицах и справедливо при переходе к любым другим единицам, если считать f безразмерной величиной, поскольку размерности его левой и правой частей тогда одинаковы. Аналогично могут быть получены и остальные соотношения (3). Именно выбор естественных для
23