помощью описанного в п. 2.3 графического интерфейса, хотя это и не обязательно.

Задание 7. Рассмотреть самостоятельно схему, аналогичную RC-цепочке, у которой вместо конденсатора С стоит индуктивность L (RL-цепочка), и выполнить все упражнения пункта 5. Система уравнений, описывающая эту цепочку, имеет вид

Ur = i · R

Ul = E − Ur

di = Ul

dt L

10.3.Статическая модель диода. Решение нелинейных уравнений

Если напряжение на диоде равно u, то ток через диод определяется известным соотношением:

кая к ней средняя кинетическая энергия «свобод-

ного» электрона в электронном газе. При T=300 K, ϕT (300K) = 0, 025 В. Ток I0, определяющий «масштаб» характеристики, называется тепловым током. Термин «тепловой» отражает сильную температурную зависимость тока I0, а также тот факт, что он равен нулю при абсолютном нуле температуры.

Другим распространенным термином является «обратный ток насыщения», происхождение которого связано с тем, что при отрицательном напряжении |u| ϕT обратный ток идеализированного диода равен I0 и не зависит от напряжения, по

76

крайней мере, до тех пор, пока не происходит обратный пробой. Мы примем величину I0 = 1мкА, что является характерным значением для большинства кремниевых диодов.

Для цепи, изображенной на рис. 13, нетрудно написать систему уравнений для нахождения тока через диод.

I= R1 (U0 − u)

I= I0 · (eu/ϕT − 1) .

Задание 8. Выведите график зависимости I(u), полученной из уравнения (3). Определите оптимальные масштабы отображения, при которых можно различать прямую и обратную ветви. I0 = 1мкА, резистор R = 1кОм.

Задание 9. Решите уравнение графически, определив рабочую точку, которая является точкой пересечения двух графиков – характеристики диода и нагрузочной прямой I = R1 (U0 − u).

Для расчета режима работы цепи, включающей диод и другие элементы, необходимо на каждом шаге решать нелинейное уравнение вида x = f(x). Это можно сделать с помощью метода простой итерации, суть которого очень проста. Начальное приближение x0 подставляется в правую часть, находится x1, которое затем используется в следующей итерации как начальное приближение и т. д. Критерием завершения итераций является малое отличие xi и xi+1. Конечно, процесс может и не сойтись. Это зависит от вида уравнения и от начального приближения. Но даже если процесс сходится, требуется большое количестве итераций и соответственно времени для их выполнения. Можно, конечно, использовать какую-либо стандартную процедуру MATLAB, например fzero, но в данном случае мы используем простейший вариант метода Ньютона.

Для уравнения f(x) = 0, а наше уравнение легко привести к такому виду, можно записать разложение в ряд Тейлора вблизи точки x0, которую мы считаем начальным приближением:

f(x) = f(x0) + f (x0)(x − x0) + ...

Пренебрегая членами разложения выше первого порядка, можно написать:

x = x0 − f(x0)/f (x0).

Соответственно итерационная формула будет выглядеть следующим образом:

xi+1 = xi − f(xi)/f (xi).

77

Критерий завершения итераций такой же, как и в предыдущем примере. Как правило, этот метод обеспечивает существенно более быструю сходимость, правда, требует знания производной исходной функции. Иногда используют методы Ньютона более высоких порядков, которые основаны на учете следующих членов разложения.

Задание 10. По аналогии с RC и RL цепями запишите уравнение для переменного тока в цепи, состоящей из последовательно соединенного диода (I0 = 1мкА) и резистора (R = 1кОм) с приложенным (входным) переменным напряжением. Пусть входное напряжение имеет амплитуду 10 В и является синусоидальным с частотой 50 Гц. Найдите ток через резистор. Для этого необходимо решать нелинейное уравнение, определяющее рабочую точку диода, на каждом шаге по времени. Постройте графики входного напряжения и тока через резистор.

i = F (u)

где F (u) - правая часть уравнения ( 3).

Алгоритм решения этой системы уравнений может выглядеть, например, так:

1.Uc = 0

2.Решить нелинейное уравнение u + F (u)R1 = U0 sin(ωt) − Uc

78

В результате такой последовательности вычислений мы получаем значение напряжения на конденсаторе Uc в момент времени t + dt и снова переходим к пункту 2. Фактически это означает, что мы ищем мгновенные значения параметров как для статической схемы в предположении, что напряжение на конденсаторе берется в предыдущий момент времени. Для такого рассмотрения необходимо, чтобы шаг по времени был много меньше, чем постоянные времени зарядки и разрядки конденсатора (R1C, R2C).

Задание 11. Задайте приемлемые, на ваш взгляд, параметры элементов схемы. Входное напряжение синусоидальное, частота 50 Гц, амплитуда 10 В. Нарисуйте графики зависимости от времени входного напряжения, тока через диод и напряжения на емкости. Рассмотрите две временные области. Первая должна демонстрировать процесс установления напряжения на емкости в начальный период времени. Во второй постарайтесь показать пульсации напряжения на нагрузке около установившегося выходного напряжения.

79