8.2. Динамический хаос

Используя уравнения движения, удается рассчитать с высокой точностью движение планет на тысячи лет вперед (а также и в прошлом). Доказаны теоремы, утверждающие, что движение механической системы, описываемой уравнениями движения, полностью определяется значениями координат и скоростей всех ее точек в некоторый момент времени (теоремы единственности). Казалось бы движение системы 5-10 шаров тоже можно рассчитать хотя бы на сотни «периодов» (пробегов от стенки до стенки), тем более, что законы их движения и соударений очень просты. Однако оказывается, что рассчитать движение сталкивающихся шаров на сколько-нибудь длительное время практически невозможно.

8.2.1.Почему движение шаров становится непредсказуемым?

Чтобы понять это, представим себе, что направление движения одного из шаров (рис. 9) отклонилось от «правильного» на угол ϕ0 10−8, и исследуем, как будет изменяться угол отклонения при столкновениях.

При этом ограничимся самыми грубыми оценками. Будем иметь в виду, что средний путь шара между столкновениями – l – много больше радиуса шара, l a. За время до очередного столкновения шар движется по прямой и центр его сместится от «правильного» положения на расстояние OO lϕ0. Тогда AA 1/2 ,OO lϕ0 – смещение точки соприкосновения шаров при ударе. Участок поверхности второго шара в окрестности точки касания играет роль «зеркала». Это зеркало двигалось до удара, при ударе оно отскакивает, поэтому направление, в котором отскакивает шар, не определяется правилом «угол падения равен углу отражения». Тем не менее поворот «зеркала» на малый угол α ведет к изменению

Рис. 9. Схема соударения шаров

58

направления движения отскочившего шара на угол ϕ1 α (может быть, в 1.5 - 2 раза больше или меньше – такой уровень точности в данном случае нас устраивает). Так как α AA /a, получаем ϕ1 (l/a)ϕ0 ϕ0 – при ударе угол отклонения скорости резко увеличивается. После k столкновений ϕk (l/a)kϕ0. Если l/a 10, то достаточно 8-10 столкновений, чтобы стало ϕk 1 и направление движения шара перестало иметь какое бы то ни было отношение к «правильному». Становится очевидным, что никакое разумное повышение точности расчетов не может значительно увеличить правильно рассчитываемый интервал движения шаров.

Чтобы предвидеть движение шаров после 100 соударений, согласно этой оценке нужно было бы задать их начальные скорости с фантастической точностью до 100 знаков.

Легко понять, что вывод о катастрофическом росте неопределенностей координат относится и к системе большого числа шаров. Относится он и к движению молекул настоящего газа. Только для молекул неопределенности возникают из-за всяческих возмущений, которыми во всех других отношениях можно пренебречь, а для нашего газа шаров – из-за ограниченной точности расчетов.

Таким образом, движение шаров (и молекул 28) является вполне закономерным за относительно малый промежуток времени и случайным – за долгий промежуток. Отметим, что эта случайность реализуется в рамках закона сохранения энергии. 29

8.2.2. Как убедиться в появлении хаоса?

Увидеть, что малое отклонение в направлении движения одного из шаров очень быстро вырастает, очень просто, проведя несколько «запусков» шаров с чуть различными начальными условиями.

Чтобы убедиться, что движение шаров спустя достаточный интервал времени становится непредсказуемым, нужно надежно предсказать «силой мысли» какоето нетривиальное движение. Это совсем не трудно сделать. Представим себе, что в некоторый момент мы заменили направления скоростей всех шаров на противоположные: vi → −vi. После этого шары должны двигаться строго по прежним траекториям и вернуться в начальное положение.

28Для молекул есть еще одна причина хаотизации: их движение описывается не классиче-

ской механикой, а квантовой, непременно включающей в описание понятие вероятности.

29Тот факт, что движение молекул газа является хаотическим, понимал и использовал в

своих исследованиях еще Л. Больцман. Описанный выше механизм «потери памяти» понял и подробно изучил Н.С. Крылов, а исследовал это явление с математической строгостью Я.Г. Синай.

59