Проделать именно такое наблюдение над нашим газом совсем просто. В результате мы обнаружим, что шары после нескольких столкновений друг с другом «сбиваются с пути».

Для качественного исследования достаточно зафиксировать пути частиц на экране ( использовав вместо маркера ’o’ или наряду с ним маркер ’.’ и выбрав для него ва-

риант вывода без удаления предыдущего изображения: set(hh, ’EraseMode’,’none’)), а при повторном запуске шаров изменить цвет траекторий.

Задание 1. Предусмотрите в программе возможность в некоторый момент tm изменить скорости всех частиц на противоположные: vi → −vi и проследите, будут ли шары возвращаться по «проложенным» ранее траекториям. Наблюдайте движение при различных значениях tm.

8.3.Функции распределения

Более пригодными, чем зависимости ri(t) для описания движения частиц газа – как настоящих молекул, так и наших «шаров»,– являются средние величины и функции распределения. Будем отмечать на плоскости с координатами (vx, vy) точки, соответствующие скоростям шаров в разные моменты времени. Эти точки образуют «облако», концентрация точек в котором постепенно убывает к краям. Эта концентрация f0(v) становится величиной хорошо определенной, если число N0 отмеченных точек очень велико. Обычно, функцией распределения по скорости v называют функцию f(v) = f0(v)/N0, которая в нашем случае удовлетворяет условию

∞∞

f(v)dvxdvy = 1.

−∞ −∞

Вероятность того, что скорость шара окажется в элементе dvxdvy пространства скоростей вблизи точки v, равна

Теоретический расчет, который приводить здесь было бы неуместно,30 дает

где ε = mv2/2 – энергия шара; E – суммарная энергия всех N шаров.

30Этот расчет можно найти в пособии: «Лекции по статистической физике» (Г.Л. Кот-

кин,НГУ,1996), §5.1, предназначенном для студентов 3-го курса физфака НГУ.

60

Рис. 10. Схема построения гистограммы модуля скорости

При ε E можно заменить 1 − ε/E на exp(−ε/E), так что

Если к тому же N 1, то можно ввести температуру газа: kБT = E/N, где kБ– постоянная Больцмана. (Для трехмерного газа было бы (3/2)kБT = E/N). Тогда (1) сводится к распределению Максвелла:

Если разбить плоскость (vx, vy) на узкие кольца (рис. 10) одинаковой ширины ∆v и подсчитать число точек в каждом из колец ∆N, то можно получить наблюдаемую функцию распределения (1/N)(∆N/∆v). Соответствующая теоретическая зависимость получается из (1) заменой dvxdvy на 2πvdv.

Подобным же образом можно получить и распределение по энергии. Из равенства ε = mv2/2 следует dε = mv dv, поэтому теоретическая зависимость получается заменой 2πv dv на (2π/m)dε. Для получения же наблюдаемой функции (1/N)(∆N/∆ε) нужно разбить плоскость (vx, vy) на кольца равной площади.

Функция распределения по компоненте скорости vx определяется с помощью разбиения плоскости(vx, vy) на полосы шириной ∆vx (рис. 11). Вид функции рас-

61

пределения :

∞

dw

dvx = −∞ f(vx, vy)dvy.

Интеграл с помощью замены переменной

приводится к виду

Задание 2. Получите на экране картину распределения частиц в плоскости (vx, vy). Для этого следует выводить и сохранять точки с координатами (vx,vy). Интервал времени dt в функции Balls лучше выбрать большим, порядка среднего времени между столкновениями, чтобы каждый раз на экран выводились новые точки.

Задание 3. Получите «наблюдаемые функции распределения» (гистограммы) шаров по компоненте скорости vx, по абсолютной величине скорости v, по энергии.

Выведите для сравнения также теоретические функции распределения (получаемые на основе формул (2)).

Интересно получить также распределение по скорости движения шаров друг относительно друга, по энергии относительного движения (m4 (v1 − v2)2).

31Для I(N) с помощью интегрирования по частям легко получить рекуррентное соотноше-

ние

I(N) = 2N I(N − 1),

2N + 1

сразу же приводящее к (31)

При N 1 основной вклад в I(N) дает, очевидно, область x 1. В этой области 1 − x2 можно заменить на exp (−x2 ), после чего интервал интегрирования можно расширить до

бесконечности. В итоге I(N) ≈ exp (−Nx2 )dx = π/N/2.

0

62

Рис. 11. Схема построения гистограммы по проекции скорости vx

Задание 4. Получите функцию распределения по расстояниям между центрами шаров (усредненную за длительное время).

Укажите существенные отличия таких функций распределения при небольшой концентрации шаров и при условиях, когда среднее расстояние между шарами немногим больше их диаметра.

8.4.Стохастический нагрев и стохастическое охлаждение

Если биллиардный стол («ящик с газом») начинает двигаться, очень медленно наращивая скорость, а затем так же плавно останавливается, то вместе с ним, естественно, ускоряется и замедляется и газ, сохраняя в конечном счете свою энергию.

Если движение «ящика» не является медленным и плавным, то энергия газа в результате такого движения может как вырасти, так и уменьшиться. Какого изменения энергии газа можно ожидать при длительном периодическом движении «ящика»? В предельном случае, когда газа много, от движущихся стенок распространяются звуковые волны, затухающие в объеме газа, поэтому газ нагревается. А если частиц мало? Оказывается, и в этом случае энергия газа будет расти (хотя и не монотонно) – это так называемый стохастический нагрев газа.

Процедура Balls определяет движение шаров и в ящике, который движется с

63