ПРИЛОЖЕНИЕ
A. Дополнительные задачи
Здесь приведены примеры задач, предлагаемых студентам для самостоятельной работы.
Свободные колебания
1.Изобразите на экране монитора нормальные колебания двойного маятника (см. [9, задача 6.3]).
2.Колебания молекулы CO2 можно представлять как наложение гармонических колебаний. Изобразите каждое из этих колебаний и их суперпозицию (см. [7, §24, задача 1]).
Электрические и магнитные поля
3.Изобразите силовые линии магнитного поля, создаваемого парой прямых токов и однородным полем, перпендикулярным этим токам (магнитная ловушка), для следующих случаев:
а) токи текут в направлении, перпендикулярном плоскости ХУ; б) токи текут по прямым, скрещивающимся в пространстве.
Частица в магнитной ловушке
4.Исследуйте движение заряженной частицы в магнитных полях, заданных в задачах 3а, 3б.
E |
= |
e |
E |
Сила, действующая на частицу в магнитном поле, - сила Лоренца F |
c |
[EvB]. |
Так как она зависит от скорости, схема расчета, используемая в работе “МАЯТНИК” и “ПЛАНЕТА”, оказывается здесь недостаточно точной. Можно рекомендовать схему расчета, основанную на равенстве вида
x(t + h) = x(t) + hx˙ (t) + |
h2 |
h3 |
˙ |
4 |
|
|
|
x¨(t) + |
|
x¨(t) + O(h |
), |
||
2 |
6 |
|||||
˙
причем x˙ (t) = v(t), x¨(t) = f(t) = F (t)/m, а x¨(t) с той же точностью
выражается как f(t)−f(t−h).
h
80
5.Исследуйте движение заряженной частицы в поле магнитного диполя (моделируя тем самым движение частиц в радиационных поясах).
Фокусировка пучков частиц
6.Пучок частиц, летевших параллельно оси X, фокусируется в поле U(x, r). Изобразите движение группы частиц, стартовавших с большого расстояния с разными прицельными параметрами одновременно:
а) U = |
Ay2 |
|
|
Ay2 |
|
|
, |
б) U = |
|
. |
|
r2+B2 |
(r2 +B2)2 |
||||
7.Пучку частиц, фокусируемых в поле, можно сопоставить картину фокусировки волн в неоднородной среде. Можно показать (но мы не будем этого делать), что длина волны должна быть обратно пропорциональна скорости
частицы. Иначе говоря, фронт волны должен смещаться в направлении Ev, но
на расстояние
∆Er Ev∆t/v2.
Получите картину волновых поверхностей, соответствующих фокусировке пучка в полях, заданных в задаче 9.
8. Пучок частиц летит параллельно оси X и рассеивается в поле
√ |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
U(r) = −α/ r |
+ a . |
||
Определить распределение рассеянных частиц по углам. Считать, что падающий поток частиц равномерно распределен по площади своего поперечного сечения.
9.Движение частиц в стоячей волне на поверхности жидкости
x = x0 + aekz0 cos kx0 cos ωt, z = z0 + aekz0 sin kx0 cos ωt.
Получите картину движения частиц. Дуги траекторий, прорисованные частицами за время τ 1/ω, дадут представление о линиях тока жидкости.
Концентрация частиц
10.Рассматривается диффузия (случайные блуждания) частиц в поле U = k2 (x2+ y2 + z2). Определите наблюдаемую концентрацию частиц в зависимости от r = √x2 + y2 + z2.
81