накопления данных удобно будет изменять масштаб, согласуя его с полным числом учтенных точек.
7. Броуновское движение
В гл. 6 дано качественное описание движения броуновской частицы. В этом описании существенную роль играет время τ, за которое частица «забывает» направление своего движения. Рассматривая положение частицы через интервалы времени ∆t τ, получаем реализацию процесса случайных блужданий, т.е. случай, изученный в гл. 6.
7.1. Случайные силы
В данной работе предлагается моделировать движение броуновской частицы с масштабом времени ∆t τ. В то же время величина ∆t не слишком мала. В наиболее простом для понимания случае, движении броуновской частицы в разреженном газе, будем считать число ударов молекул о броуновскую частицу L за время ∆t большим,` L 1. Изменение импульса частицы за время ∆t за счет взаимодействия с молекулами среды ∆p = m∆v можно представить в виде ∆p + ∆pслуч, где среднее значение определяет силу трения:
∆p = fтр∆t, fтр = −αv, |
(1) |
а добавка ∆pслуч ответственна за безостановочное броуновское движение. Такое безостановочное движение есть тепловое движение, и скорость его определяется температурой среды:
1 |
m v2 = |
3 |
kБT. |
(2) |
|
|
|||
2 |
2 |
Эта скорость устанавливается в результате «компромисса» между случайными толчками, в среднем разгоняющими частицу, и воздействием силы трения, тормозящим ее. Поэтому величина (∆pслуч)2 должна быть тем больше, чем выше температура и чем больше коэффициент α, определяющий силу трения.
Проведем соответствующую этим рассуждениям количественную оценку. Из-
менение скорости частицы за время ∆t |
|
|
|
||
v → v − |
α |
1 |
|
(3) |
|
|
v∆t + |
|
∆pслуч |
||
m |
m |
||||
50
не должно приводить к изменению v2 : |
|
|
|
|
|
||
v2 |
→ v2 (1 − |
∆t |
)2 |
1 |
(∆pслуч)2 , |
(4) |
|
|
+ |
|
|||||
τ |
m |
||||||
откуда |
(∆pслуч)2 = 2mα v2 ∆t. |
|
|||||
|
(5) |
||||||
(Заведомо малое слагаемое с (∆τt)2 1 отброшено.) Таким образом, |
|
||||||
|
(∆pслуч)2 = 6αkБT ∆t. |
(6) |
|||||
Можно ввести «случайную силу» fслуч = ∆p∆случt , нужно только иметь в виду, что ее «амплитуда» зависит от ∆t:
|
fслуч2 |
|
= |
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
6αkБT . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер зависимости (6) от ∆t очевиден для случая, когда в качестве среды рассматривается разреженный газ. Тогда среднее значение числа ударов молекул за
время ∆t: L ∆t, а флуктуации этого числа, определяющие ∆pслуч, пропорцио- |
|||||
√ |
|
|
√ |
|
. |
нальны |
L |
|
|
∆t |
|
Соотношение (3) можно интерпретировать следующим образом: точка, изображающая состояние броуновской частицы в пространстве скоростей, совершает случайные блуждания в «потенциальном поле» 12 αv2.
Описанный подход к изучению движения броуновской частицы, позволяющий
продвинуться в области масштабов ∆t τ,mпринадлежит П.Ланжевену. |
|
Смещение частицы за время ∆t τ α находится, естественно, как |
|
∆r = v∆t. |
(8) |
Подчеркнем различие в характере движения броуновской частицы, рассматриваемого в разных масштабах времени. При ∆t τ последовательные положения частицы образуют ясно выраженную траекторию, и при уменьшении ∆t движение приближается к равномерному. Если же уменьшить ∆t, не выходя из области ∆t τ, то можно видеть, что каждый «шаг» является результатом нескольких более коротких, но столь же хаотических шагов.
Во избежание недоразумений отметим, что раздел теории вероятностей, называемый теорией броуновского движения, рассматривает случайные блуждания, воспроизводящиеся для сколь угодно малых ∆t (что соответствует пределу τ → 0).
51
Таким же образом можно изучать тепловые флуктуации гармонического осциллятора. Вводя в выражение (3) вклад возвращающей силы mω2x, получим
|
α |
1 |
|
|
|
v → v − |
|
v∆t − ω2x∆t + |
|
∆pслуч. |
(9) |
m |
m |
||||
Задание 1. Получите на экране траекторию броуновской частицы и «траекторию» в пространстве скоростей. Отметьте на траектории другим цветом положения частицы с интервалом времени τ. Как изменяется характер траекторий с изменением τ, L, ∆t?
Задание 2. Получите зависимость x(t), v(t) для гармонического осциллятора. Выведите для сравнения одновременно графики для двух одинаковых осцилляторов.
Задание 3. Рассматривая движение N 200 броуновских частиц, получите зависимости v2(t) и r2(t) . Определите коэффициент диффузии.
7.2. Корреляционные функции
Значения компоненты скорости частицы в моменты t1 и t2, разделенные интервалом ξ = t2 − t1, при | ξ | τ статистически независимы:
vx(t1)vx(t2) = vx(t1) vx(t2) = 0. |
(10) |
(Перемножаются компоненты скорости одной и той же частицы, усреднение же подразумевается по очень большому числу частиц.) При значениях | ξ |≤ τ компоненты скорости не успевают сильно измениться за время ξ; мерой их взаимной зависимости служит корреляционная функция24
ϕ(ξ) = vx(t)vx(t + ξ) . |
(11) |
Поскольку мы рассматриваем движение броуновских частиц, статистические свойства которого не изменяются со временем (например, температура постоянна), функция ϕ фактически зависит лишь от ξ, а не от моментов t и t + ξ по отдельности. Отсюда следует, в частности, что ϕ(ξ) - четная функция; чтобы проверить это, достаточно заменить в (11) t на t − ξ.
24Корреляционной функцией случайных величин x(t), y(t) называют функцию (x(t) −x(t) )(y(t) − y(t) ) . Функцию вида (11) иногда называют автокорреляционной. В (11) мы учитываем, что x , vx = 0.
52