2.Модели СМО для установивших режимов, обеспечивающие определение характеристик их пропускной способности путем решения систем линейных алгебраических уравнений.

3.Модели для расчета характеристик нестационарных случайных пр о- цессов в динамических системах по на основе методов “динамики сре дних” или весовых функций.

Оценка искомых показателей качества на основе аналитических моделей обычно сводится к решению некоторых систем, чаще всего алгебраич еских, уравнений или вычислению определенных интегралов. В наиб олее сложных случаях приходится применять приближенные численные методы, реализуемые на ЦВМ. Несмотря на это, аналитические модели характер изуются минимальной трудоемкостью.

Для математических моделей стохастических систем, не допу скающих аналитических преобразований, а также для физических, полунатурных и других моделей, возможны два подхода к построению алгоритмов реализации.

Это, во-первых, статистическое имитационное моделирование - многократное воспроизведение процесса в системе с накоплением и последу ющей обработкой статистических данных о значениях ее характеристик. Такой подход пригоден для моделей любой физической природы и любых математич е- ских схем. Главный его недостаток - повышение точности связано со значительным увеличением количества опытов.

Во-вторых, использование специальных методов рациональной ор ганизации эксперимента с целенаправленным выбором параметров моделируемой ситуации. К ним относятся, например, метод эквивалентных во змущений, интерполяционный метод Чернецкого, методы планирования экспер и- мента, нестохастического имитационного моделирования [2, 13, 16, 31, 32, 38,

45].

3.МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Метод статистического моделирования, называемый также методом статистических испытаний или методом Монте-Карло, является универсальным методом исследования стохастических систем и процессов. Он свободен от каких-либо теоретических ограничений и одинаково пригоден для моделей любой физической природы. Данный метод оказывается полезным также для решения ряда детерминированных задач, требующих сложных вычислений. Термином "метод Монте-Карло" обычно принято обозначать решение де-

53

терминированной вычислительной задачи путем определения статистических характеристик искусственно организованного случайного процесса.

3.1. Теоретические основы метода статистического моделирования

Метод статистического моделирования в целом базируется на положениях и результатах теории вероятностей и математической статистики [10, 15, 20, 35]. Рассмотрим ряд основных понятий и теорем, называемых пр едельными и объединяемых обычно общим названием - закон больших чисел, на которых основаны центральные идеи метода статистического моделирования.

В рамках закона больших чисел используется понятие предела по вер оятности, отличающееся от обычного понятия предела, рассматриваем ого в дифференциальном исчислении, и определяемо е следующим образом.

Последовательность случайных величин {yn} = y1,y2,…,yn,… сходится по вероятности к случайной величине y, если вероятность того, что yn отличается от y на любое конечное число, стремится к нулю при неограниченном увеличении n:

Решение любой задачи статистического моделирования сводится к у с- реднению результатов некоторой последовательности, или совокупности, опытов. Итоговые результаты определяются в виде вероятностей, моментов или законов распределения. Обычно принято рассматривать в качестве о с- новных две задачи: определение вероятности случайного события в ра мках схемы Бернулли и определение математического ожидания случайной величины.

Схема Бернулли состоит в проведении независимых опытов в однородных условиях, в результате каждого из которых может быть зафиксир овано

или не зафиксировано наступление некоторого события A. Событие A явля-

n

называется относительной частотой появления события A.

54

Теорема Бернулли: последовательность относительных частот появления события A в n независимых опытах сходится по вероятности к истинной pА при n→∞.

При определении математического ожидания также должны обеспеч и- ваться независимость опытов и однородность условий их проведения. При соблюдении таких условий результаты отдельных опытов рассматр иваются как последовательность {xn }=x 1 ,x2 ,…,x n ,… независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения вероятностей. Если пр о- ведены n таких опытов, вводится новая случайная величина

Теорема Хинчина: если x1 ,x2 ,… – последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения с конечным математическим ожиданием mx, то последовательность средних арифметиче-

_

ских xn (n = 1,2,...) сходится по вероятности к mx.

Существуют также другие формулировки указанных положений закона больших чисел. Например, усиленный закон больших чисел в форме Колмо-

горова: для того чтобы среднее арифметическое независимых реализаций случайной величины сходилось с вероятностью, равной единице, к ее математическому ожиданию, необходимо и достаточно, чтобы это математич еское ожидание существовало.

Отметим, что указанное свойство относится как к непрерывным, так и к дискретным случайным величинам, составляющим последовательность {xn}. Причем для дискретной случайной величины математическое ожидание и среднее арифметическое могут рассматриваться как непрерывные величины. В этом смысле результаты отдельных опытов по схеме Бернулли могут трактоваться как независимые реализации дискретной случайной величины x с двумя возможными значениями 0 и 1. Среднее арифметич еское n таких реализаций совпадет с относительной частотой (3.1). Подобным образом любая другая задача статистического моделирования может быть сведена к задаче определения математического ожидания.

Независимо от вида приведенные положения закона больших чисел выражают основную идею метода статистического моделирования: наблюдение большого числа реализаций случайной величины позволяет сделать правильные выводы о ее средних характеристиках. Однако для решения практических задач принципиального обоснования возможности получения результата за

55

счет неограниченного увеличения количества опытов недостаточно. Необходимо иметь возможность определения требуемого количества опытов и оценки погрешности получаемого результата. Рассмотрим еще ряд положений и предельных теорем теории вероятностей.

Важную роль в расчетных соотношениях метода статистического моделирования играет одномерный нормальный закон распределения. Нормальным называется закон распределения суммы большого числа независ имых случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой. Для непрерывной случайной величины x, распределенной по нормальному закону, плотность распределения вероятностей (ПРВ) описывается аналитическим выражением:

где mx – первый начальный момент распределения, или математическое ожидание; x – среднеквадратическое отклонение, x Dx ; Dx – второй центральный момент распределения, или дисперсия. Нормальный закон распр е- деления (3.3) полностью задается парой чисел mx и x или mx и Dx.

Стандартизованным нормальным распределением называется но рмальное распределение некоторой случайной величины u с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией:

Связь любой случайной величины x с нормальным законом распределения и стандартизованной нормальной случайной величины u выражается следующими соотношениями:

Случайная величина y имеет асимптотически нормальный закон распределения, если существует последовательность пар действительных чисел (mn ,n ), таких, что последовательность случайных величин, получаемых для отдельных реализаций yn по соотношению

xn yn mn ,

n

56