ние результатов затруднительно, наиболее удобным оказывается метод выборки по группам.

5.2. Комбинированные методы получения оценок

Группа методов, разработанных В. Н. Пугачевым [30], преследует цель повысить точность (или соответственного снизить трудоемкость) статистического эксперимента со сложной математической, натурной или др угой трудоемкой моделью системы за счет проведения параллельного исследования упрощенной модели и совместной обработки результатов.

Основные идеи этих методов состоят в следующем:

1.Упрощенная модель строится таким образом, чтобы обеспечивалась возможность аналитического исследования и статистического эксперимента со значительно меньшей трудоемкостью по сравнению с основной моделью.

2.Должна быть обеспечена определенная аналогия упрощенной и основной моделей, степень которой оценивается по корреляционной связи их реакций на одинаковые воздействия.

3.С основной и упрощенной моделями проводится параллельный статистический эксперимент одинакового объема при одинаковых воздействиях,

иоцениваются их статистические характеристики. Количество и виды статистических характеристик упрощенной системы, вообще говоря, могут не соответствовать статистическим характеристикам, определяемым для осно в- ной системы.

4.Для упрощенной модели определяются также то чные значения рассматриваемых статистических характеристик и отклонения полученных оценок от точных значений.

5.Фактические значения погрешностей оценок статистических характеристик упрощенной модели используются для уточнения оценок статистических характеристик основной модели. Если обеспечивается достато чная степень корреляционной связи реакций основной и упрощенной моделей на одинаковые воздействия, то таким образом удается существенно уточнить результаты исследования основной модели.

5.2.1. Оценка статистической характеристики сложной математической модели с использованием результатов аналитического упрощенного исследования

Уточним характер условий статистического эксперимента с осно вной и упрощенной моделями. Термином “воздействия” здесь обозначаютс я реали-

153

зации случайных входных сигналов или значения случайных пар аметров модели, генерируемые для конкретного опыта с моделью. Серии опытов с основной и упрощенной моделями проводятся с обеспечением стандартных требований к статистическому эксперименту - однородность условий в смысле постоянства законов распределения воздействий и независимость результатов отдельных опытов. Но при этом отдельные параллельные опыты с основной и упрощенной моделями проводятся для идентичных реализаций случайных воздействий.

Рассматриваемый здесь метод предусматривает проведение статистических экспериментов объема N для основной и упрощенной моделей, а также определение рассматриваемых статистических характеристик упр ощенной модели аналитически.

Определяемый по основной модели показатель качества исследуемой системы R в общем случае представляет собой некоторую функцию от значений ее переменных состояния: R=R(X1 (t), X2 (t),...,Xn (t)).

В качестве статистической характеристики основной модели будем рассматривать λ=M[R]. В результате проведения серии опытов получим выборку значений показателя качества R1 ,R2 ,...,RN и определим оценку λ стандартным способом:

Для упрощенной системы в общем случае рассматривается m-мерный вектор статистических характеристик μ=M[S] и его оценка

где компоненты вектора S также являются некоторыми функциями переменных состояния упрощенной модели.

Уточненная оценка λ строится в линейной форме:

λ0 =aλ*+Bμ*+Cμ,

где B и C - некоторые m-мерные векторы-строки.

Рассмотрим подробно простейший случай, соответствующий m=1:

Коэффициенты для (5.15) определяются в соответствии с условиями несмещенности и эффективности (минимума дисперсии) оценки.

Условие несмещенности имеет вид

154

или aM[λ*]+bM[μ*]+cM[μ]= λ.

С учетом (5.13), (5.14) получим: M[λ*]=λ, M[μ*]=μ. Кроме того, очевидно: M[μ]=μ. В результате aλ+bμ+cμ=λ, и поскольку в качестве λ и μ могут рассматриваться различные статистические характеристики, оконч а- тельно имеем: b+c=0, a=1, λ0 =λ*– c(μ*–μ).

Найдем дисперсию λ0 :

D[λ0 ]=M [(λ0 – λ)2 =M [(λ*– c(μ*– μ)– λ)2 ]=

=M [(λ*– λ)2 ]– 2cM [(λ*– λ)(μ*– μ)]+c2 M[(μ*– μ)2 ].

Поскольку λ и μ - константы, а λ* и μ* определяются по (5.13), (5.14) через суммы независимых случайных величин, имеем:

Смысл соотношения (5.16) состоит в пересчете значения ошибки оценки μ*, которую удается найти точно, в поправку для уточнения оценки искомой характеристики λ.

Для оценки эффективности метода определим дисперсию оценки (5.16):

155

где RS в рассматриваемом одномерном случае совпадает с коэффициентом

Очевидно, с увеличением ρRS эффективность метода повышается.

С учетом исходной постановки задачи ясно, что точное значение RS определить невозможно. Кроме того, вид упрощенной модели может оказаться таким, что не будет обеспечено и точное определение DS аналитическим способом. Поэтому вместо (5.16) на практике используются оценки вида

Требуемое для получения результата с погрешностью не выше доп количество опытов можно оценить в процессе моделирования в соответствии с

(3.19):

156

Отметим, что при наличии ограничения на количество опытов с о сновной моделью использование рассматриваемого метода в силу (3.18) позволя-

ет снизить погрешность оценки в раз.

Если для упрощенной модели определяется m-мерный вектор статистических характеристик μ=M[S], оптимальная оценка для λ имеет вид, анало-

гичный (5.16):

С учетом полученных основных соотношений метода ясно, что здесь не предусматриваются какие-либо ограничения на форму упрощенной м одели

157

даже с точки зрения используемой в качестве ее основы математич еской схемы. Важна лишь степень корреляционной связи реакций основной и упрощенной моделей. Поэтому в качестве упрощенной модели обы чно используют одну или несколько моделей простейших динамических систем, звеньев, нелинейных элементов и т. п. С увеличением m выигрыш от использования комбинированного метода возрастает [30].

Пример 1. Вернемся к примеру, рассмотренному в подразд. 5.1. Выберем упрощенную модель в форме безынерционного нелинейного звена с двумя входами V1 и V2 и уравнением Y=V2–V1V2. Для упрощенной модели будем определять математическое ожидание выходного сигнала Y. Тогда, используя принятые выше обозначения, получим R=X(1), S=Y. Определим на основе аналитических решений все численные характеристики задачи:

λ=M[X(1)]=2,419; DR=D[X(1)]=0,2438; μ=M[Y]=0,750;

DS =D[Y]=M [Y2 ]– μ2 =M [(V2 – V1 V2 )2 ]– μ2 =0,2153;

RS = M[(X(1) –λ)(Y –μ)]=M[X(1)Y]–λμ = – 0,1632;

ожидаемый выигрыш в количестве опытов по сравнению со стандартной схемой статистического моделирования в η ≈ 2 раза.

При контрольном статистическом моделировании с использо ванием соответствующей модификации итерационного алгоритма получена оценка λ02 = 2,419 при фактическом количестве опытов N=12089, фактический выигрыш в количестве опытов - примерно в 1,8 раза.

Построим теперь упрощенную модель в виде совокупности двух нели-

μ=(μ1 ,μ2 )=(M [Y1 ],M [Y2 ]). В соответствии с (5.21), (5.22) для m=2 и с уче-

чайных величин.

Получим все необходимые численные характеристики на основе анали-

При контрольном статистическом моделировании получена λ02=2,423 при фактическом количестве опытов N=2150 и выигрыше в трудоемкости в 10,2 раза по сравнению со стандартной схемой моделирования.

Пример 2. Применим построенную в предыдущем примере упрощенную модель с m=2 для определения других статистических характеристик основной модели: λ2=P[X(1)<mx] и 3 M X 2 M X t t 2 .

Точное значение λ2=0,504, следовательно, DR=λ2(1–λ2)=0,250, и необходимое для обеспечения требований задачи по точности количество опытов при статистическом моделировании по стандартной схеме - 22500. При кон-

трольном моделировании потребовалось 22497 опытов. Результат: *2 =0,506. При оценке λ2 комбинированным методом случайная величина R явля-

159

Получить точные значения всех численных характеристик задачи аналитическим методом здесь затруднительно. Поэтому ограничимся данными статистического моделирования на основе итерационного алгоритма:

λ02=0,503; rRS1 0,6930, rRS2 0,4120, rS1S2 0,8968, ρ2SR 0,8394 при фактическом количестве опытов 6780 и выигрыше в трудоемкости в 3,3 раза.

Для λ3 точные значения: λ3=2,919, DR=0,3860 и для стандартной схемы статистического моделирования Nтреб=34739. При контрольном моделирова-

выигрыше в трудоемкости в 6,4 раза.

При N 30 рассмотренный метод не может дать отрицательного эффекта

[30].Его эффективность повышается с увеличением m.

5.2.2.Оценка статистической характеристики системы на основе совместного использования результатов натурного эксперимента

иматематического моделирования

Точность определения статистических характеристик системы на о снове натурного эксперимента, ограниченная его малыми возможными об ъемами, может быть существенно повышена за счет совместной обрабо тки результатов натурного эксперимента и математического моделирования. Предназначенный для решения этой задачи комбинированный метод пр едусматривает:

1. Проведение серии объемом N опытов с натурной моделью с соблюдением основных требований статистического эксперимента (одноро дность условий и независимость отдельных опытов) и регистрацией реализаций случайных внешних воздействий на систему, имевших место в отдельных опытах.

В результате такого эксперимента получают случайную выборку значений показателя качества системы R1 , R2 ,..., RN , по которой на основе (5.13) определяют оценку λ* искомой характеристики, и случайную выборку изм е- ренных реализаций вектора внешних воздействий U1 , U2 ,..., UN , по которой

определяют вектор оценок статистических характеристик внешних воздейст-

вий =( 1 , 2 ,..., K ):

160

2. Построение математической модели исследуемой системы, близкой к оригиналу в достаточной степени, чтобы обеспечивалась чувствительность ее характеристик к рассматриваемым внешним воздействиям. Проведение серии объемом N опытов с математической моделью с воспроизведением в каждом опыте измеренных при натурном эксперименте реализаций вектора U, накопление выборки S1 , S2 ,..., SN и определение оценки μ* статистической характеристики модели по (5.14).

3. Определение расчетного значения статистической характеристики модели μ0 аналитическим методом или путем статистического моделир ования достаточно большого объема N0 >>N. При определении μ0 используется вектор оценок , полученный по выборке ограниченного объема N.

Проанализируем характер результатов моделирования.

Оценка λ* представляет собой случайную величину с характеристиками:

M[λ*]=λ, D DR N , где λ - точное значение искомой статистической характеристики, соответствующее теоретически бесконечному количеству

опытов, DR - дисперсия показателя качества R.

Составляющие вектора представляют собой случайные величины, которые при отсутствии систематических ошибок измерения внешних во з- действий имеют характеристики: k и - составляющие вектора истинных значений статистических характеристик внешних во здейст-

D[ ] D[ k U ] .

k N

Оценка μ* представляет собой случайную величину с характеристиками: M[μ*]=μ, D[ ] DS N , где μ=μ( и) - точное значение рассматриваемой

статистической характеристики математической модели, соответствующее теоретически бесконечному количеству опытов с натурной и математической моделями, DS - дисперсия случайной величины S.

Расчетное значение μ0 =μ0 ( ) в силу случайности также является случайной величиной, для получения характеристик которой при допущении о малой величине D[ k] (k=1,2,...,K) можно использовать разложение в

161

ряд Тейлора в окрестности точки ( 1и , 2и ,..., K и ) с учетом только первых

K

где Pi k k Ui k и .

k 1

В результате M[μ0 ]=M[P]=μ, D[ 0 ] DP N .

Аналогично можно получить корреляционные моменты связи:

Оптимальная комбинированная оценка характеристики λ строится в линейной форме: λ0 =aλ*+bμ*+cμ0 .

C учетом полученных выше математических ожиданий из условия несмещенности λ0 =λ*–c(μ*– μ0 ).

Коэффициент c определяется из условия минимума дисперсии λ0 c учетом полученных соотношений для дисперсий и корреляционных моме нтов

связи:

D[λ0 ]=M [(λ0 – λ)2 ]=M [(λ*– c(μ*– μ0 )– λ)2 ]= =M [((λ*– λ)– c (μ*– μ)+c(μ0 – μ))2 ]=

Удобно ввести в рассмотрение новую случайную величину Q=S-P, для которой M[Q]=M[S]–M[P]=μ–μ=0. Тогда с учетом теоретических соотношений для определения дисперсии и корреляционного момента связей

162

RS – RP =M[(R– λ)(S– μ)]– M[(R– λ)(P– μ)]=M[(R– λ)Q]= RQ,

DS – 2 SP+DP=M [(S– μ)2]– 2M [(S– μ) (P– μ)]+M [(P– μ)2 ]=

=M[(S– P)2 ]=M[Q2 ]=DQ.