Для точного воспроизведения многомерной ПРВ произвольного вида может быть использован универсальный метод нелинейного преобразования случайных координат, с которым можно познакомиться, например, по [2].

3.9.3. Метод Неймана

Метод Неймана (с. 76), обобщенный на многомерный случай, также универсален, но в отличие от предыдущих, практически не требует подготовительной работы:

ном случае полученные числа отбрасывают, и пункты 1,2 повторяют. Несмотря на известные недостатки, данный метод может оказаться

предпочтительным даже с точки зрения быстродействия, особенно при большой размерности моделируемого случайного вектора.

4.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

ВСИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

4.1.Основные формы описания непрерывных случайных процессов

Наиболее полной формой описания одномерного случайного процесса X(t) является безусловная многомерная функция плотности распределения вероятностей (ПРВ) f (x 1 ,t1 ,x 2 ,t2 ,...,x n ,tn ) его значений xi в моменты времени ti = ti -1 +∆t, i=1,2,...,n, где n→∞. Однако практически реализуемые методы получения многомерной ПРВ и применения ее для моделир ования систем отсутствуют в связи со сложностью используемого математического

105

аппарата. В большинстве практических приложений для описания одноме р- ного случайного процесса используются одномерная ПРВ и корреляционная функция.

Одномерная, или первая, ПРВ случайного процесса описывает распр е- деление его значений для фиксированного момента времени t. Формально она определяется через функцию распределения (ФРВ) F(x,t) значений

На основе одномерной ПРВ для рассматриваемого момента врем ени могут быть определены любые средние характеристики, или моменты ра с- пределения, в частности, математическое ожидание

где x - центрированный случайный процесс.

X t X t m t

Корреляционная функция одномерного случайного процесса Kx(t1 ,t2 ) характеризует взаимную зависимость его значений, соответствующих различным моментам времени, и формально определяется через двумерную

В частном случае стационарного случайного процесса:

106

mx(t)=mx=const, Dx(t)=Dx=const,

а корреляционная функция становится функцией одного аргумента:

Kx(t1 ,t2 )=Kx(t2 – t1 )=Kx(τ), τ=t2 – t1 , Kx(0)=Dx.

Смысл соотношений (4.1)-(4.3) состоит в определении характеристик случайного процесса усреднением по множеству реализаций.

Если стационарный случайный процесс обладает свойством эргодичности (среднее по множеству реализаций совпадает со средним по врем ени), перечисленные его характеристики могут быть найдены всего по одной реализации и без использования плотности распределения:

где x(t) - детерминированная реализация случайного процесса X(t). Соотношения (4.5)-(4.7), очевидно, более удобны для практики. Следствием их являются, в частности, оценки (3.11)-(3.12).

Для стационарного случайного процесса вводится также весьма удо б- ная для построения расчетного аппарата функция спектральной плотности

характеризующая распределение мощности, или интенсивности, случайных колебаний X(t) по различным частотам. Соответственно имеют место соо т- ношения:

Таким образом, для одномерного случайного процесса X(t) вместо многомерной ПРВ используются две группы характеристик, описывающих его с двух взаимно дополняющих точек зрения:

- с точки зрения распределения значений в конкретный момент времени (f (x,t), mx(t), Dx(t)...);

107

- с точки зрения зависимости значений X(t) в разные моменты времени (Kx(t1 , t2 ) или Kx(τ), Sx(ω) для стационарного процесса).

Связь между этими двумя группами характеристик сводится только к формальному совпадению значений дисперсии, определяемых по (4.2) и через Kx(τ) или Sx(ω).

Отметим важный для ряда практических задач частный случай - белый шум. Корреляционная функция белого шума имеет вид:

Kx(t1 , t2 ) = G(t1 )δ(t1 - t2 ),

где G( t1 ) - интенсивность белого шума.

Для стационарного белого шума G(t )=G=co n st и может быть определена спектральная плотность:

Sx G e j d G const .

При построении модели системы на основе D-схемы (2.1) приходится рассматривать многомерный случайный процесс X(t)=(X1 (t),X2 (t),...,Xn (t)), составляющими которого являются случайные фазовые переменные системы.

Распределение мгновенных значений такого процесса для определенного момента времени t описывается одномерной ФРВ (3.35) или ПРВ (3.36) векторной случайной величины X=(X1 ,X2 ,...,Xn ). На практике обычно ограничиваются использованием только моментов распределения первого и второго порядка.

Средние значения фазовых переменных описываются их математич е-

Главную диагональ матрицы (4.10) образуют корреляционные функции ф а- зовых переменных (автокорреляционные функции) Kxi xi Kxi t1,t2 , опре-

деляемые по (4.3). Остальные элементы (i≠j ) - взаимные корреляционные функции фазовых переменных:

108