если рассматривать два входных сигнала: X1 =X и

ожиданий входных сигналов и матрицы моментов (4.12).

4.4. Расчет установившегося случайного процесса в нелинейной стационарной системе

Замена нелинейного звена линеаризованной моделью позволяет использовать принцип суперпозиции - провести раздельный анализ преобразования системой детерминированных и случайных составляющих входных сигналов. Особенность применения принципа суперпозиции на основе статистической линеаризации состоит в том, что для случайных составляющих нелинейное звено заменяется безынерционным звеном с коэффициентом k 1 , а для детерминированных - безынерционным звеном с коэффициентом

k 0 (при нечетной нелинейности) или постоянным сигналом 0 . Определяемые по (4.19)-(4.22) коэффициенты статистической линеари-

зации оказываются функциями моментов распределения сигналов на входе нелинейности, которые, в свою очередь, вычисляются через передаточные функции системы, включающей в себя линеаризованное звено, то есть зависят от коэффициентов статистической линеаризации. Вследствие этого расчет стационарного процесса в статистически линеаризованной системе сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, требующему применения численных методов.

Рассмотрим пример такого расчета для системы, структурная схема которой приведена на рис. 42, статическая характеристика нелинейного звена - на рис. 40.

120

4.5. Определение характеристик нестационарных случайных процессов методом весовых функций

Область применения рассмотренного спектрального метода ограничена анализом установившихся случайных процессов в стационарных системах при стационарных воздействиях. Одним из возможных методов опр еделения характеристик нестационарных случайных процессов в системах управления является метод весовых функций.

Если известна весовая функция системы w(t,τ), то выходной сигнал Y(t) при заданном входном сигнале G(t) и нулевых начальных условиях определяется следующим соотношением (интегралом свертки) [3]:

справедливым как для детерминированных процессов, так и для реализаций случайных процессов в системе.

Усреднив левую и правую части соотношения (4.23) по множеству реализаций, получим соотношение для определения математического ожидания выходного сигнала:

где mg(τ) – математическое ожидание нестационарного входного сигнала. Аналогично может быть определена корреляционная функция:

где Kg(τ, τ’) – корреляционная функция нестационарного входного сигнала. При t1 = t2 из (4.25) получается соотношение для дисперсии:

Особый практический интерес представляет определение характер истик переходного процесса в стационарной системе при стационарном входном сигнале. Такой процесс является нестационарным, и для него, как частного случая, из (4.23)-(4.26) вытекают следующие соотношения:

123

Рассмотренный пример относится к числу простейших. Вычисления, очевидно, усложнятся, если рассматривать систему более высокого порядка или определять корреляционную функцию. Для нестационарной системы аналитические решения достаточно сложно получить даже для простейших случаев.

4.6. Моделирование нестационарных случайных процессов в линейных системах методом динамики средних

Рассмотрим линейную нестационарную систему, описываемую ура в- нениями:

где aik(t), bi(t) – известные функции времени; xi(t) – фазовые переменные; ui(t) – входные сигналы. Аналогичная система уравнений будет справедлива для случайного процесса, вызванного действием на систему слу чайных входных сигналов. Ограничимся случаем, когда входные сигналы – коррелированные (статистически зависимые) белые шумы:

i=1,2,...,n, j=1,2, ...,n.

Система (4.28) позволяет определять отдельные реализации случайного

i=1,2,...,n, могут быть определены законы изменения во времени матем атических ожиданий всех фазовых переменных системы.

Как было указано выше, для получения полного представления о пр о- цессе в системе желательно получить матрицу корреляционных функций (4.10). В связи со сложностью такой задачи обычно ограничиваются опр еде-

125

(4.32)

Для системы n порядка матрица моментов содержит n2 элементов, которые могут быть определены решением n2 уравнений (4.32) при заданных начальных условиях ij(0), i=1,2,...,n; j=1,2,...,n. Но благодаря симметричности матрицы моментов количества независимых переменных ij и незави-

симых уравнений в (4.32) оказываются равны n(n 1) .

2

Необходимо отметить, что даже если требуется определить только дисперсии одной или нескольких фазовых переменных, необходимо совм естно

Получим уравнение для дисперсии, учитывая единственную фазовую переменную X1 = X и единственный входной сигнал в форме белого шума

При заданных mu(t), G(t) и начальных условиях mx(0), Dx(0) интегрированием полученных уравнений определяются mx(t) и Dx(t). В частности, при mx(0)=Dx(0)=0, mu(t)=mu=const и G(t)=G0=const получим решение аналитически:

что совпадает с результатами, полученными для аналогичного примера м е- тодом весовых функций.

127