Министерство образования Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех»

В. Ю. ЕМЕЛЬЯНОВ

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2004

УДК 629.7: 519.6

Е

Методы моделирования стохастических систем управления: Учеб.

пособие/ В. Ю. Емельянов; Балт. гос. техн. ун-т; СПб., 2004. 168 с.

Пособие соответствует программам учебных дисциплин “Теория и системы управления», “Моделирование систем”. Анализируются основные проблемы построения моделей, предназначенных для оценки качества и эффективности информационных и управляющих систем с учетом реальных условий их функционирования. Приведен обзор методов физической реализации моделей, основных математических схем и возможностей учета особенностей внешней среды.

Основное внимание уделяется математическому аппарату, использу е- мому при построении моделей стохастических систем, и методу статистич е- ского моделирования.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям “Системы управления летательными аппаратами”, “Автоматизированные системы обработки информации и управления”, “Информационные системы и технологии” и другим инженерным специальностям.

Ил. 46. Табл. 10. Библиогр.: 47 назв.

Р е ц е н з е н т ы: кафедра “Авиационные приборы и измерительно - вычислительные комплексы” Академии аэрокосмического приборостроения (зав. кафедрой докт. техн. наук, проф. А. Н. Синяков), канд. техн. наук, ст. науч. сотр., нач-ник лаб. динамики ЦНИИ “Гранит” В. Р. Андриевский.

© БГТУ, СПб, 2004

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИСПЫТАНИЙ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Основные особенности моделирования систем с учетом реальных условий их применения

Моделирование - универсальный метод научных исследований и инженерной деятельности. "В науке по ее существу всегда приходится иметь дело с моделями. Вне их конкретных классов бессмысленно говорить об основных понятиях теории и закономерностях природы" [34].

Наиболее распространенное в технической литературе определение понятия модели выглядит следующим образом.

Модель - это искусственный объект или система, обладающая о сновными свойствами, присущими исследуемому объекту или системе, но более доступная или удобная для исследования.

Это определение отражает традиционное представление о модели, как инструменте исследования, имеющем, как правило, иную физическую пр и- роду по сравнению с объектом моделирования. Так модель летательного аппарата может быть получена в виде системы уравнений, модель погоды - в виде программы для ЦВМ, модель следящего привода - в виде схемы набора на АВМ, модель корабля - в виде чертежей или макета из дерева. Однако с точки зрения современной теории систем "искусственность" м одели не следует трактовать буквально. Поэтому более точным и полезным для пра ктики представляется определение, принятое в философии [27]:

Модель - это способ существования знаний.

Таким образом, "модель" - чрезвычайно широкое понятие, охватывающее огромный набор материальных и интеллектуальных объектов. Та к например, уравнение закона упругости является моделью процессов вза имодействия молекул и атомов деформируемого тела, данное учебное пос обие представляет собой модель теории моделирования, а конспект лекций - окажется моделью курса "Моделирование систем управления". Испытания реальной системы в реальных условиях, строго говоря, являются процессом моделирования будущей работы системы в широком диапазоне условий эксплуатации.

На всех этапах создания систем управления используются разнообразные по форме и сложности модели, соответствующие широкому перечню решаемых задач.

3

На ранних стадиях проектирования при решении задач определения состава и структуры системы, прогнозирования ее эксплуатационных характеристик и значений показателей эффективности используются преимущественно математические модели. Техническое задание на создаваемую систему является моделью согласованного между разработчиком и заказч иком облика системы.

Далее на различных этапах проектирования используются модели в виде расчетных схем, чертежей, макетов и др.

После изготовления опытного образца появляется возможность пр оверки работоспособности системы, соответствия ее реальных характер истик расчетным, уточнения использованных математических моделей и оценок показателей качества системы. Вообще задача оценки показателей качества системы чаще всего требует совместного использования нескольких моделей - от натурных до математических - и согласованной обработки получаемых результатов.

Таким образом, любой процесс проектирования или исследования системы управления основан на применении моделей. При этом качество получаемых результатов определяется степенью соответствия между оригиналом и моделью с учетом цели исследования и условий работы исследу емой системы. Однако универсальных, однозначных правил построения моделей не существует. Выбор модели всегда является некоторым компр омиссом, причем субъективный фактор играет здесь существенную роль.

Остановимся подробнее на основных особенностях реальных условий функционирования систем управления, определяющих сложность и неоднозначность проблемы построения моделей.

Вполне очевидно, что любую реальную систему нельзя считать изолированной, не подверженной влиянию внешней среды. Взаимодействие с внешней средой вызывает отклонения в поведении и характеристиках системы.

Из теории управления известна удобная форма описания влияния внешней среды на систему - некоторый набор возмущающих воздействий. Однако в ряде случаев использовать такой прием не удается. Например, если необходимо учесть влияние внешней среды на параметры элементов системы или "технологический разброс" значений конструктивных пар аметров, неизбежный при изготовлении реальных элементов. В таких случ аях приходится решать вопрос о выборе новой математической схемы описания системы.

Влияние внешней среды на функционирование системы не является о д- носторонним. Иногда вследствие работы системы или даже самого ее суще-

4

ствования существенно изменяются характеристики внешней среды и соо т- ветственно ее воздействие на систему. Возникает замкнутый цикл взаимодействия по принципу обратной связи. В полной мере учесть этот эффект удае т- ся при условии существенного расширения модели системы за счет допо л- нения ее элементами внешней среды.

Разнообразие реальных условий применения системы определяет невозможность получения каких-либо всеобъемлющих показателей ее качества. Предусмотреть все варианты условий применения системы и учесть их при проектировании, как правило, не удается. Разнообразие внешней ср еды, в свою очередь, проявляется в различных формах.

Нестационарность, то есть изменение характеристик условий прим е- нения системы с течением времени, прежде всего, может проявляться как существенная нестационарность параметров внешних во здействий. Это обстоятельство учитывается при построении модели за счет выбора соответствующего математического аппарата.

С другой стороны, может иметь место существенное изменение условий применения системы, вызываемое естественными (общий технич еский прогресс, изменение природных условий) или искусственными (совершенствование взаимодействующих с исследуемой или противодействующих ей систем) причинами. Вследствие этого по истечении некоторого периода времени в процессе эксплуатации системы значения ее показателей качес тва изменяются. Этот эффект чаще всего проявляется в смысле ухудшения показателей качества системы и обозначается термином "моральное стар ение".

Безусловно, наиболее важной особенностью реальных условий является их случайность, или стохастичность. Стохастический подход приходится использовать практически во всех моделях систем, учитывающих реальные условия применения.

Свойство случайности состоит в том, что значения некоторых пар аметров самой системы или внешней среды или характер их изменения для ко н- кретного опыта или конкретного мом ента времени непредсказуемы. Однако в условиях многократного повторения таких опытов или на пр одолжительном интервале времени проявляется некоторая закономерность. Эта закономерность может быть определена (аналитическими преобразованиями, обработкой статистических данных или на основе экспертных оценок) и формализована в виде закона распределения или набора средних статистических характеристик.

Стохастические модели позволяют получать усредненные значения показателей качества системы. При дальнейшем использовании таких показателей необходимо иметь в виду, что их значения и достоверность зависят не

5

только от корректности модели системы, но и от учтенных в процессе моделирования сведений о статистических характеристиках случайных параметров. Кроме того, даже достоверные средние значения показателей качества могут существенно отличаться от истинных значений этих показателей в конкретной ситуации применения системы.

Наиболее серьезные проблемы при построении модели и планировании программы исследований возникают в случае необходимости учета неопределенности условий применения системы. Это наиболее общий случай отсутствия сведений о их характеристиках, когда неизвестны не только конкретные значения, но и какие-либо закономерности, средние значения или законы распределения. В частных случаях могут быть установлены лишь диапазоны возможных значений параметров внешней среды.

Проблема учета неопределенности решается различными способ ами, в том числе путем перехода к детерминированной или стохастической модели, в зависимости от особенностей задачи, для решения которой создается модель.

В заключение следует отметить, что для любой системы реальные у словия применения характеризуются всей совокупностью перечисленных свойств. Вопрос о необходимости учета той или иной особенности внешней среды должен решаться индивидуально с учетом цели моделирования, тр е- бований к точности и достоверности результатов, располагаемых средств.

1.2. Основные свойства и характеристики моделей

При всем разнообразии форм и независимо от степени сложности модели подчиняются единым закономерностям, то есть обладают свойством универсальности. Для любой системы может быть получен широкий набор моделей - от словесного описания или математических моделей различной сложности до натурного воспроизведения ее работы. В общем случае все они равноценны. Выбор модели с абстрактных позиций, без учета конкре т- ной цели исследования не имеет смысла.

Конечность, ограниченность средств познания обуславливают конечность моделей. Помимо этого, конечность моделей определяется ограниченностью времени и материальных ресурсов, выделяемых на проведение исследований.

Свойство упрощенности является, с одной стороны, следствием конечности моделей. Но с другой стороны, это свойство обеспечивается искусственно. Построить идеальную, абсолютно точную и универсальную, дающую однозначный результат в разнообразных ситуациях, модель невозможно.

6

Любое усложнение модели в целях более точного и подробного описания системы приводит к повышению трудоемкости и стоимости исследований. В условиях ограниченности времени и ресурсов усложнение модели вызывает сокращение объема исследований. В первом приближении можно рассматривать следующую зависимость между степенью сложности модели и практической ценностью результатов моделирования с ее использованием

(рис. 1).

При определенном уровне сложности модели диапазон анализируемых условий применения системы начинает сокращаться. Результаты моделирования точны, но практическая ценность их незначительна. Более сложная модель может оказаться уже бесполезной или ее можно будет использовать лишь в сочетании с искусственно упрощенной моделью.

Свойство приближенности, в

отличие от двух предыдущих, означает не качественное, а количественное отличие модели от оригинала. Оно м ожет быть связано с погрешностями применяемых оценок параметров системы и внешней среды. Для статистических моделей наличие такого свойства неизбежно, так как идеально точный результат для них может быть получен только при бесконечном числе опытов. Приближенность может также вноситься в модель искусственно по рассмотренным выше причинам.

Итак, любая модель дает упрощенное и приближенное представление об оригинале. Это обусловлено общей целью создания моделей - упростить, удешевить, ускорить получение результатов исследования, сделать более ясными наиболее важные закономерности исследуемого процесса, прене б- регая несущественными деталями.

Адекватность модели - это соответствие ее цели исследования. Адекватность модели обеспечивается выбором определенного уровня упроще н- ности и приближенности. Модель адекватна, если она отражает те свойства и особенности системы, которые существенны с точки зрения задач, р ешаемых в рамках конкретного исследования, и влияние на них характер истик условий применения системы. Учет в модели каких-либо иных особенностей системы, если он приводит к ее усложнению, нежелателен.

7

Адекватная модель может неправильно отражать ряд особенностей системы, несущественных с точки зрения цели моделирования. Так при расчете траекторий космических аппаратов начало координат чаще всего совм ещают с центром Земли, то есть используют геоцентрическую модель Солнечной системы Аристотеля, недостоверность которой доказана сотни лет назад. Однако использование здесь истинной, гелиоцентрической, м одели не дало бы никакого эффекта, кроме усложнения расчетов.

Качество моделей принято оценивать с пом ощью характеристик, или показателей, ее точности, достоверности и адекватности.

Точность - это характеристика модели, выражаемая количественной мерой погрешности результата моделирования по отношению к идеаль но точному для данной модели. Идеально точным считается результат, который мог бы быть получен в условиях конечности и упрощенности м одели при устранении ее приближенности.

Достоверность - это характеристика модели, выражаемая количественной мерой соответствия идеально точного для данной модели результата истинному, то есть присущему исследуемой реальной системе.

В качестве примера рассмотрим задачу оценки точности доставки полезного груза в заданную точку автоматическим летательным аппаратом. Вследствие воздействия ветра, неоднородности атмосферы, технологического разброса параметров летательного аппарата и ряда других причин отклонение достигаемой точки от требуемой оказывается случайным. В качества показателя точности системы рассматривается среднее значение отклоненияср. Задача определения ср может решаться статистическим математическим моделированием или путем натурных испытаний, причем идеальная точность в обоих случаях может быть достигнута при бесконечном количестве опытов.

После проведения N опытов на математической модели определим ср как среднее арифметическое полученных отклонений. Погрешность ре-

зультата может быть оценена как

= ср.ид ср ,

где ср - результат, полученный на основе N опытов; ср.ид - идеально точный для данной модели результат, соответствующий достаточно большому (теоретически - бесконечному) количеству опытов.

Величина является характеристикой точности математической модели. Если предположить, что путем натурных испытаний с полным воспр о- изведением реальных условий работы системы удалось получить истинное

8