G11=G12=G21=0, G22=G(t). Отметим совпадение правых частей 2-го и 3-го

11, 21 и 22, законах изменения параметров системы и входного сигнала каким-либо численным методом.

Достаточно простое аналитическое решение может быть получено только в стационарном случае для установившегося процесса. Тогда в (4.33) и (4.34) производные можно положить равными нулю, и результат находится решением систем линейных алгебраических уравнений:

4.7.Моделирование нестационарных случайных процессов в нелинейных системах методом динамики средних

Уравнения метода динамики средних получены на основе линейной м о- дели системы в виде (4.27). Тем не менее этот метод в аналогичной фо рме

129

может быть применен и к нелинейной системе в сочетании с методом статистической линеаризации. Для этого модель нелинейной системы должна быть представлена в канонической форме:

входные сигналы – белые шумы с математическими ожиданиями mui t и

матрицей интенсивностей (4.13). При такой форме модели входными сигналами нелинейностей являются фазовые переменные системы, которые будем рассматривать в виде сумм математических ожиданий и центрир ованных случайных составляющих:

.

Xi t mx t X i t

i

После статистической линеаризации содержащихся в уравнениях (4.35) n нелинейностей модель примет вид

После усреднения уравнений (4.36) по множеству реализаций получим

систему уравнений для определения математических ожиданий фазовых переменных:

После вычитания уравнений (4.37) из соответствующих уравнений (4.36) получим систему уравнений для центрированных случайных соста вляющих фазовых переменных:

Теперь, выполнив преобразования, аналогичные примененным к системе (4.30), получим систему уравнений для корреляционных моментов свя-

Полученные системы уравнений (4.37) и (4.39) справедливы как для стационарных, так и для нестационарных систем и формально аналогичны уравнениям динамики средних линейной системы (4.29), (4.32). Но здесь коэффициенты уравнений i 0 и kij, в отличие от aij, зависят от текущих значений решений уравнений. То есть, в строгом смысле, уравнения (4.37) и (4.39) являются нелинейными. Поэтому для их решения даже в простейших случаях требуется применение численных методов. При этом на каждом шаге интегрирования необходимо определять новые значения коэфф ициентов i 0 и k ij путем решения систем нелинейных уравнений для определения коэффициентов статистической линеаризации с учетом текущих значений mxi и θij.

4.8. Построение моделей случайных процессов в дискретных системах

Для описания случайных процессов в дискретных системах используются те же характеристики, как и для непрерывных систем, но здесь вм есто непрерывного времени они рассматриваются как функции дискретного аргумента n. Ограничимся рассмотрением одномерного случайного процесса.

Математическое ожидание случайного процесса рассматривается в форме mx(n)=M X(n) , если процесс наблюдают в дискретные моменты времени t=nT0 (T0 - шаг дискретизации времени, n - целое число), или mx(n, )==M X(n, ) , если процесс наблюдают в смещенные моменты времени t=(n + )T0 ( - смещение, 0 1).

Корреляционная функция определяется в форме

131

случайного процесса:

Кx(n,n)=Dx(n), Кx(n, ,n, )=Dx(n, ).

Для стационарного процесса mx(n, )=mx=const, Kx(n, ,n1, 1)=Kx(n1-n). Аналогичные замены аргументов выполняются для функций ПРВ и

ФРВ, а также для всех средних характеристик многомерных случайных процессов.

Все рассмотренные методы построения моделей случайных проце ссов применимы и для дискретных систем с некоторыми отличиями, обусло вленными особенностями их описания:

-вместо дифференциальных уравнений используются разностные;

-вместо преобразования Лапласа используется z-преобразование и да-

лее для применения частотных и спектральных методов - w-преобразование, переход к псевдочастоте и так далее.

Рассмотрим особенности построения моделей случайных проце ссов в дискретных системах на примере метода весовых функций.

Весовая функция нестационарной дискретной системы определяе тся в виде w(n, ,k), где n,k - целые числа, - смещение (0 1). Для стационарной системы: w(n-k , ) или w(n, ), считая формально k=0.

При заданном входном сигнале G(n) и известной весовой функции выходной сигнал дискретной системы определяется конечной суммой:

k 0

являющейся аналогом интеграла свертки (4.23) для непрерывной системы. Здесь G и Y - реализации случайных процессов.

Усреднив (4.40) по множеству реализаций, получим формулу для о пределения математического ожидания выходного сигнала:

k 0

Для корреляционной функции также имеет место соотношение, анало-

гичное (4.25),

132