3.7.3. Другие задачи проверки статистических гипотез, виды критериев и их характеристики

Рассмотренная выше задача проверки соответствия теоретического и выборочного законов распределения относится только к одному из видов задач проверки статистических гипотез [5, 20, 35, 43, 46]. Рассмотрим еще два часто встречающихся на практике вида подобных задач.

Задача статистической проверки параметрической гипотезы возникает, когда известен закон распределения исследуемой случайной величины F(x), но неизвестен один из его параметров . Основная (нулевая) параметрическая гипотеза, обозначаемая как H, состоит в утверждении, что данный параметр имеет определенное значение: 0 .

По случайной выборке x1 ,x 2 ,…,x n находят несмещенную состоятельную оценку * параметра и устанавливают, значимо или незначимо (допустимо) различие между * и 0 . Для проверки используют статистический критерий W - соответствующим образом подобранную случайную величину, зависящую от * . Закон распределения W определяют исходя из условия, что элементы выборки являются независимыми случайными величинами, законы распределения которых совпадают с F(x) при 0 , то есть из условия выполнения гипотезы H.

Выбирают значение уровня значимости (обычно, в пределах от 0,01 до 0,05), и интервал возможных значений W разбивают на две области - допус-

w* д , и отвергается в противоположном случае.

Как уже отмечалось выше, из-за ограниченного объема случайной выборки при использовании статистических критериев всегда имеет м есто риск получения неверных выводов. Возможны два варианта ошибки:

-отвергается правильная гипотеза (ошибка первого рода);

-принимается неправильная гипотеза (ошибка второго рода).

Как видно из (3.31), уровень значимости представляет собой вероятность ошибки первого рода. Для определения вероятности ошибки второго

90

рода необходимо, помимо основной, ввести противоречащую ей альтернативную (конкурирующую) параметрическую гипотезу G, например: > 0 ,< 0 или 0 . Тогда вероятность ошибки второго рода определяется следующим образом: P(W д G). Здесь, в отличие от (3.31), закон распределения W определяется при условии выполнения гипотезы G. Вероятность недопущения ошибки второго рода 1- называется мощностью статистического критерия.

В общем случае выбирать статистический критерий для конкретной задачи и строить запретную область следует таким образом, чтобы обеспечить максимум вероятности Однако на практике в большинстве случаев здесь применяют готовые рецепты. Тогда заданное значение или используется для определения необходимого объема выборки.

Пример: проверка гипотезы о значении математического ожидания случайной величины с нормальным законом распределения и известной дисперсией.

Основная гипотеза H: mx= . Конкурирующая гипотеза G: mx .

где n - объем выборки; x - известное среднеквадратическое отклонение; m*x - оценка математического ожидания, определяемая на основе (3.2). З акон

выполнении гипотезы H получим mW =0 (стандартизованный нормальный закон).

Допустимая область для критерия W строится в виде интервала [wл ;wп], причем при заданном уровне значимости условие (3.31) примет вид:

P(W<wл H)+P(W>wп H)= .

Для однозначного определения границ интервала принимается допо л- нительное условие: P(W<wл H)=P(W>wп H)=0,5 . Тогда с учетом

mW =0 допустимая область будет иметь вид [-w0 , 5 ;w0 , 5 ]. Значение w0 , 5 может быть найдено по таблицам нормального закона распределения*. Теперь по имеющейся выборке находят оценку математического ожидания и

-------------------

Рекомендуется самостоятельно рассмотреть числовые примеры, выбрав зна-

91

чения =1-Pд в соответствии с табл. 7, и сравнить получаемые значения w0 , 5 и д .