k 0 l 0

Если входной сигнал представляет собой белый шум Kg (k,l)=G0 kl , гдеkl = (k-l) - единичная импульсная функция, вторая сумма в соотношении (4.43) сокращается до одного слагаемого:

n

w n, ,l G0 kl G0 w n, , k ,

l 0

и в результате

k 0

Для стационарной системы и несмещенных моментов времени соотношения (4.40)-(4.44) принимают вид

4.9. Методы моделирования случайных процессов с заданными характеристиками

Применение рассмотренных выше методов математического моделирования случайных процессов в системах управления связано с рядом огр а- ничений. Построение аналитических моделей возможно только в простейших

133

случаях, а наиболее универсальный из рассмотренных метод динамики средних требует численного интегрирования. Порядок модели, построенной по методу динамики средних, в несколько раз превышает порядок моделируемой системы, а входные воздействия могут учитываться только в форме б е- лых шумов. Поэтому для достаточно сложных задач неизбежно использование статистического имитационного моделирования, несмотря на выс окую его трудоемкость. Кроме того, статистическое имитационное моделирование применяется для проверки точности и достоверности результатов, полученных другими методами, требующими более жестких допущений о характеристиках моделируемых процессов.

При статистическом имитационном моделировании на основе матем а- тических, полунатурных и других моделей возникает задача имитации внешних воздействий на систему, имеющих форму случайных процессов с определенными характеристиками. Эта задача решается путем построения генераторов случайных процессов.

Рассмотрим задачу имитации одномерного случайного процесса X(t). Получаемые реализации должны подчиняться закону распределения с заданной ПРВ f(x) и иметь заданную корреляционную функцию Kx( ). Генератор случайного процесса с заданными характеристиками обычно строится на основе генератора белого шума.

При математическом моделировании используются стандартные генераторы псевдослучайных чисел с равномерным или нормальным законом распределения. Такие генераторы обычно обеспечивают получение последовательностей чисел с достаточно низкой взаимной зависимостью. Если

(ti)= i, (tn)= n, ti+1=ti+ t, будет получена модель дискретного белого шума. При t 0 перейдем к модели непрерывного белого шума. При использовании ЦВМ шаг t всегда конечен. Поэтому его величину приходится учитывать при расчете параметров цифровых моделей непрерывных случа й- ных процессов.

Для получения случайного процесса с названными выше характер истиками из белого шума с равномерным или нормальным законом распр еделения необходимо обеспечить: заданный закон распределения - эта задача решается рассмотренными выше методами безынерционных нелинейных пре-

134

образований; заданные корреляционные свойства - эта задача решается методами формирующего фильтра, скользящего суммирования и др.

4.9.1. Метод формирующего фильтра

Метод формирующего фильтра основан на использовании закономе р- ностей преобразования линейным динамическим звеном спектральной плотности случайного сигнала, описываемых соотношением (4.15). Если на вход динамического звена поступает белый шум со спектральной плотностью S ( )=S0, спектральная плотность выходного сигнала X(t) будет определяться через частотную передаточную функцию звена W(j ) следующим

образом:

Sx( )=|W(j )|2S0.

Формирующим фильтром называется динамическое звено, обеспеч и- вающее требуемые корреляционные свойства выходного сигнала.

Модель случайного процесса с заданной корреляционной функцией Kx( ) можно построить на основе формирующего фильтра, используя в качестве его входного сигнала белый шум. Необходимая передаточная функция формирующего фильтра определяется из соотношения

W j 2 Sx , (4.46)

S0

где

Sx K x e j d .

Пример. Задана корреляционная функция моделируемого процесса

Kx( )=Dxe- | | .

Определим его спектральную плотность:

135