- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •1.1. Основные элементы систем массового обслуживания
- •1.2. Пуассоновский поток требований
- •1.3. Типы систем обслуживания. Краткая символика
- •1.4. Показатели эффективности систем массового обслуживания
- •2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •2.1. Системы масового обслуживания с отказами
- •2.2. Системы с бесконечным числом приборов
- •2.3. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •2.4. Замкнутые системы массового обслуживания
- •2.5. Смешанные системы с ожиданием
- •3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •3.1. Упорядоченные системы
- •3.2. Системы с поступлением групповых заявок
- •3.3. Системы с приборами разной производительности
- •3.4. Многофазные системы
- •3.5. Системы с накопителем требований
- •3.6. Системы со смешанным потоком требований
- •3.7. Системы с ненадежными обслуживающими приборами
- •3.8. Системы с групповым обслуживанием
- •4. МАРКОВИЗИРОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •4.1. Потоки Эрланга и их свойства
- •4.2. Замена реальных потоков потоками Эрланга
- •4.3. Марковские модели процессов с ограниченным последействием
БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. УСТИНОВА
Кафедра систем обработки информации и управления
С.Н. Королев
МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Учебное пособие
С.-Петербург
2008
СОДЕР ЖАНИЕ |
|
|
П р е д и с л о в и е ......................................................................................... |
|
1 |
1. Общая характеристика систем массового обслуживания........................ |
5 |
|
1.1. Основные элементы систем массового обслуживания ......................... |
5 |
|
1.2. Пуассоновский поток требований.......................................................... |
|
9 |
1.3. Типы систем обслуживания. Краткая символика................................ |
11 |
|
1.4. Показатели эффективности систем массового обслуживания ........... |
13 |
|
2. Основные типы систем массового обслуживания.................................. |
15 |
|
2.1. Системы масового обслуживания с отказами ..................................... |
16 |
|
2.2. Системы с бесконечным числом приборов ......................................... |
22 |
|
2.3. Системы массового обслуживания с ожиданием ................................ |
24 |
|
2.4. Замкнутые системы массового обслуживания .................................... |
31 |
|
2.5. Смешанные системы с ожиданием....................................................... |
37 |
|
3. Специальные системы массового обслуживания................................... |
42 |
|
3.1. Упорядоченные системы ...................................................................... |
|
42 |
3.2. Системы с поступлением групповых заявок ....................................... |
44 |
|
3.3. Системы с приборами разной производительности............................ |
47 |
|
3.4. Многофазные системы.......................................................................... |
|
49 |
3.5. Системы с накопителем требований .................................................... |
51 |
|
3.6. Системы со смешанным потоком требований..................................... |
52 |
|
3.7. Системы с ненадежными обслуживающими приборами.................... |
54 |
|
3.8. Системы с групповым обслуживанием................................................ |
57 |
|
4. Марковизирование моделей массового обслуживания.......................... |
60 |
|
4.1. Потоки Эрланга и их свойства ............................................................. |
|
60 |
4.2. Замена реальных потоков потоками Эрланга...................................... |
63 |
|
4.3. Марковские модели процессов с ограниченным последействием ..... |
68 |
|
Библиографический список.................. |
Ошибка! Закладка не определена. |
|
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория массового обслуживания - это математическое исследование та- ких систем, в которых в случайные моменты времени поступают требования (извне или изнутри системы). Они должны быть обслужены системой на неко- тором приборе, причем длительность обслуживания в общем случае случайна.
Природа требований и их обслуживания зависит от конкретного вида системы. Первые задачи теории массового обслуживания были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефонной компании датским ученым А.К. Эр- лангом (1878 - 1929) в период между 1908 и 1922 годами. Эти задачи были вы-
званы к жизни стремлением упорядочить работу телефонной сети и разработать методы, позволяющие заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств. Если под требованиями по- нимать, например, отказы элементов системы или станков и соответственно под обслуживанием их замену или ремонт, то многочисленные задачи надежности можно решать методами теории массового обслуживания.
Очень много задач из разных областей техники и экономики удается сформулировать и решить с помощью теории массового обслуживания метода- ми современной математики. В качестве примеров таких областей можно на- звать различные технические дисциплины (связь, вычислительная техника, тех- ника измерений, управление и автоматическое регулирование), организацию производства, торговли, транспорта, здравоохранения, военного дела. Выявля-
ются все новые сферы применения быстро развивающейся теории массового обслуживания.
Потребности практики привели к необходимости увеличения выпускае- мых высшей школой специалистов, владеющих основами теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и некоторыми специ- альными разделами современной прикладной математики.
Монографии по теории массового обслуживания [1-3, 5-7, 9-11] сложны для первоначального изучения, а в учебной литературе [4, 8, 13] акцент делает- ся на изложение таких разделов теории, как асимптотические методы, полумар- ковские процессы, статистика систем массового обслуживания. В то же время аналитическое решение задач массового обслуживания [12, 14] обладает рядом положительных качеств, которых не имеют другие методы исследования: оно не привязано к определенным числовым значениям параметров системы об- служивания, позволяет находить оптимальные решения и делать общие заклю- чения.
Всвязи с этим основная задача предлагаемого учебного пособия заклю- чатся в изложении наиболее общих методов аналитического исследования сис- тем массового обслуживания с подробностью, необходимой для первоначаль- ного изучения.
Впервом разделе учебного пособия даются основные понятия и опреде- ления теории массового обслуживания, вводятся показатели эффективности систем рассматриваемого класса. Второй раздел посвящен формальному описа-
3
нию и исследованию основных типов систем массового обслуживания с ис-
пользованием математического аппарата марковских случайных процессов с непрерывным временем и дискретными состояниями. Анализ специальных сис- тем массового обслуживания на основе марковских процессов составляет со- держание третьего раздела пособия. В четвертом разделе излагаются аналити- ческие приемы, которые приводят реальные процессы функционирования сис- тем массового обслуживания к марковским.
Настоящее пособие предназначено, прежде всего, для студентов, обу- чающихся по специальностям "Автоматизированные системы обработки ин- формации и управления" и "Информационные системы и технологии". В то же время для понимания и применения изложенного материала достаточно знаний, полученных при изучении дисциплин общеинженерного цикла (дискретной ма- тематики, теории вероятностей, математической статистики и теории случай- ных процессов), и оно может быть рекомендовано также студентам старших курсов широкого круга технических и экономических специальностей и на- правлений подготовки.
4