λ = 20, μ1 = 50 , μ2 = 25. Здесьα1 = 20 / 50 = 0,4 ; α2 = 20 / 25 = 0,8 и, следова-

тельно, по формулам (3.14) — (3.18) находим

p00 = (1− 0,4)(1− 0,8) = 0,12 ; P1 = 0,8(1− 0,4) = 0,48 ; P2 = 0,08; N1 = 0,67 ; N2 = 4 .

Таким образом, оба контролера одновременно незаняты в среднем 12% рабочего времени, а в отдельности незаняты в среднем: контролер А — 48% и контролер В — 8% рабочего времени. Очереди у контролера А практически нет, а у контролера В в среднем ожидают проверки три изделия.

Если система массового обслуживания замкнутая и, стало быть, число требований, поступающих на обслуживание, ограничено числом m, то вместо формулы (3.14) имеем

При m → ∞ эта формула, естественно, переходит в формулу (3.14).

Если рассматривается система массового обслуживания с отказами, то вместо формулы (3.14) вероятности всех возможных состояний удовлетворяют следующим формулам:

При этом вероятность обслуживания каждого требования в обеих фазах (про- пускная способность системы) может быть найдена из равенства

pобсл = 1 (p00 + p10 ).

α2

Так, если в рассмотренном примере предположить, что изделия, посту- пающие на контрольный пункт, остаются не проверенными, когда они застают занятым соответствующий прибор, то

p00 = 0,397; p11 = 0,085; p01 = 0,318; p10 = 0,200; pобсл = 0,75

т. е. в этом случае только 75% изделий будут проверены.

3.5. Системы с накопителем требований

На практике встречаются такие системы массового обслуживания, в ко- торых требования поступают сначала в так называемый накопитель, а затем, после окончания обслуживания предыдущей партии накопившихся требований,

— на обслуживание. Такая ситуация возникает, например, при обработке дета- лей, предварительно накапливающихся в бункере.

Рассмотрим систему массового обслуживания, состоящую из накопителя требований и обслуживающего прибора. В накопитель поступает пуассонов- ский поток требований с параметром λ. Если в накопителе имеется уже m тре- бований, то очередное требование получает отказ. Время обслуживания прибо- ром каждой партии требований, поступивших с накопителя, подчиняется пока- зательному закону с параметром μ. Моменты поступления партий накопивших-

51

ся требований на обслуживающий прибор являются случайными. В этом случае вероятность pk того, что в накопителе при установившемся режиме имеется ровно k требований, можно определить по формуле

где α = λ / μ . Очевидно, величина pm равна вероятности отказа.

Зная вероятности pk , легко находим среднее число М требований, нахо- дящихся в накопителе:

Пример. В некотором музее имеется только один экскурсовод, который обслуживает группы туристов, состоящие не более чем из 10 человек. Среднее время обслуживания группы туристов этим экскурсоводом составляет 20 мин. Туристы приходят в музей в случайные моменты времени в среднем 30 человек в час и ждут, пока не освободится экскурсовод, если число ожидающих тури- стов менее 10, или уходят, если нет возможности попасть в музей с ближайшей группой.

10

и M = åkpk = 6,14. Это означает, что в среднем 38,6% туристов не попадают в

k =1

музей, а среднее число ожидающих туристов равно 6,14. Если среднее время обслуживания группы туристов сократить, скажем, вдвое, то p10 = 0,162, т. е.

только 16,2% туристов не попадут в музей.

3.6. Системы со смешанным потоком требований

До сих пор мы рассматривали системы массового обслуживания с един- ственным входящим потоком требований. Однако на практике весьма распро- странены системы массового обслуживания с двумя, тремя и более независи- мыми входящими потоками требований. Такие системы называются системами со смешанным потоком требований. Простейшая система массового обслужи- вания со смешанным потоком требований, для которой полностью разработан математический аппарат, функционирует следующим образом. В систему, со- стоящую из одного обслуживающего прибора, поступают независимо друг от друга два пуассоновских потока требований; первый с интенсивностью l1, а второй — l2. Застав прибор занятым, требование из первого потока становится

52

в очередь, а из второго потока покидает систему необслуженным. Время об- служивания требований из обоих потоков подчиняется показательному закону.

Рассмотрим более интересный случай, когда требования обоих потоков должны быть в конечном счете обслужены, причем требования первого потока имеют абсолютный приоритет в обслуживании. Это означает следующее: если при поступлении требования из любого потока прибор свободен, то это требо- вание начинает немедленно обслуживаться; если же прибор занят, то требова- ние из второго потока становится в очередь в любом случае, а требование из первого, т. е. приоритетного потока, — только при наличии ранее поступивших необслуженных требований из первого потока, включая сюда и требование, на- ходящееся на обслуживании. Если же таковых нет и, стало быть, в очереди сто-

ят только требования из второго потока и на обслуживании находится также требование из второго потока, то это требование снимается с обслуживания не- зависимо от того, сколько времени оно там находилось, и начинает обслужи- ваться требование из первого (приоритетного) потока. После освобождения прибора на обслуживание поступает то требование приоритетного потока (если таковое имеется), время ожидания которого наибольшее. Требования из второ- го потока поступают на обслуживание только при условии, если нет ожидаю- щих требований приоритетного потока. При этом среди требований второго по- тока соблюдается обычная дисциплина очереди: «Первым пришел, первым и поступай на обслуживание». В частности, первым на обслуживание поступает то требование из второго потока, обслуживание которого было прервано появ- лением требования из приоритетного потока.

Заметим, что система с относительным приоритетом в обслуживании от- личается от рассматриваемой системы с абсолютным приоритетом в обслужи- вании только тем, что требование из приоритетного потока, застав прибор заня- тым обслуживанием требования из второго (неприоритетного) потока, ждет окончания его обслуживания. Например, хотя в билетной кассе инвалиды вой- ны пропускаются вне очереди, процесс продажи билетов очередному пассажи- ру не прерывается при появлении инвалида.

Естественно считать, что в общем случае среднее время обслуживания требований из разных потоков неодинаково. Обозначим через 1/ μ1 среднее

время обслуживания требований, имеющих абсолютный приоритет, а через 1/ μ2 — аналогичную величину для требований из второго (неприоритетного)

потока.

Для рассматриваемой системы массового обслуживания представляет ин- терес M1' —среднее число требований из приоритетного потока, находящихся в очереди; M 2'' — среднее число требований из неприоритетного потока, нахо- дящихся в системе, θ'ож — среднее время ожидания в очереди требования из приоритетного потока, θ'ож' — среднее время ожидания в очереди требования из

неприоритетного потока.

Если выполняется условие α1 + α2 < 1, где α1 = λ1 / μ1 , α2 = λ2 / μ2 , то

для установившегося режима справедливы формулы

53

Пример. Обувная мастерская с одним мастером осуществляет обычный и срочный (в присутствии заказчика) ремонт обуви. При поступлении заказа на срочный ремонт обычный ремонт прерывается. В среднем в час поступает одна пара обуви на срочный ремонт и три пары обуви на обычный ремонт. На обыч- ный ремонт одной пары мастер затрачивает в среднем 15 мин, а на срочный

Таким образом, для срочного ремонта среднее время ожидания в очереди составляет 0,16 мин (т. е. практически никакой очереди нет), а для обычного —

61 мин.

3.7. Системы с ненадежными обслуживающими приборами

На практике встречаются системы массового обслуживания, в которых каждое требование, проходящее через обслуживающий прибор, обслуживается не достоверно, а с некоторой вероятностью p. Если подобная система есть сис- тема с отказами, состоящая из п однотипных приборов со средним временем обслуживания 1 / μ , на которую поступает поток требований с интенсивностью

Действительно, вероятность pобсл' того, что требование будет обслужено по теореме умножения вероятностей независимых событий, равна произведе-

54

нию вероятности pобсл того, что требование будет принято к обслуживанию, на вероятность p обслуживания этого требования.

Таким образом, при p < 1 вероятность обслуживания и, следовательно,

пропускная способность системы уменьшаются по сравнению с рассмотренным в п. 2.1 классическим случаем p = 1.

Пример. В ателье проката имеется восемь полотеров, каждый из которых берется на прокат в среднем на два дня. В среднем в ателье за полотерами об- ращаются пять человек в день. Вероятность того, что взятый на прокат полотер будет исправно работать, равна 0,95.

Здесь n = 8;λ = 5 ; μ = 0,5; p = 0,95, откуда по формулам (3.22), (3.23) на-

ходим pобсл' = 0,76; pобсл = 0,76 × 0,95 = 0,73. Таким образом, ателье проката в среднем на 73% обеспечивает население полотерами. Если бы эти полотеры время от времени не выходили из строя, то население было бы обеспечено ими на 76%.

Рассмотрим теперь такие системы массового обслуживания, в которых отказавшие приборы ремонтируются в процессе функционирования системы. Пусть в систему массового обслуживания, состоящую из n однотипных прибо- ров, поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью λ. Время обслуживания требований каждым прибором подчиняется показательному за- кону с параметром μ. Приборы в случайные моменты времени выходят из строя как тогда, когда они свободны, так и тогда, когда они заняты обслуживанием требования. Неисправные приборы сразу же поступают в ремонт, так что вме- сто того, чтобы обслуживать, эти приборы сами начинают обслуживаться. Вре-

мя работы каждого прибора случайно и подчиняется показательному закону с параметром γ. Одновременно в ремонте может находиться только один прибор, так что если имеются другие неисправные приборы, то они стоят в очереди. Отремонтированные приборы могут также выходить из строя. Суммарный по- ток отказов еще не ремонтированных и ремонтированных (возможно много- кратно) приборов предполагается пуассоновским с параметром q. Если прибор отказал во время обслуживания требования, то это требование теряется (даже, если имеются свободные исправные приборы).

Рассмотрим сначала систему с отказами. В этом случае требование теря- ется, если в момент его поступления в систему нет ни одного свободного ис- правного прибора. Если имеется только один прибор ( n = 1), то для такой сис-

где π1— вероятность того, что прибор неисправен; π0 —вероятность того, что прибор исправен; p1— вероятность того, что прибор занят обслуживанием; p0 — вероятность того, что прибор свободен; p' — вероятность того, что прибор либо

55

неисправен, либо занят обслуживанием; p" — вероятность того, что требование покинет систему не полностью обслуженным из-за выхода из строя прибора; pотк — вероятность отказа в обслуживании.

Пример. В случайные моменты времени к моечной установке подъезжают в среднем четыре автомашины в час. Средняя производительность моечной ус- тановки составляет 10 автомашин в час. В случайные моменты времени моеч- ная установка выходит из строя в среднем два раза за 100 ч работы. Иными словами, среднее время наработки моечной установки на один отказ равно 50 ч. Время, необходимое для ремонта моечной установки, случайное и составляет в среднем 1 ч. Если автомашина подъезжает к моечной установке в тот момент, когда установка занята или находится в ремонте, то она уезжает невымытой.

Отсюда следует, что в среднем 30,2% автомашин не будут вымыты моеч- ной установкой. Из них только 0,1% — по причине выхода из строя моечной установки во время мойки. Это указывает на то, что узким местом здесь являет- ся не плохая надежность моечной установки, а ее перегруженность.

Перейдем теперь к другому варианту рассматриваемой системы с нена- дежными приборами — к системе с ожиданием. В этом случае требование не теряется, а становится в очередь, если в момент его поступления в систему нет ни одного исправного прибора. Очевидно, эта система может быть как с огра- ничением на длину очереди и время пребывания в очереди или системе, так и без ограничений. Для определенности рассмотрим случай с ограничением на длину очереди, когда в очереди имеется только m мест. Так как формулы для произвольных n и m громоздки, то приведем формулы только для частного слу-

Здесь p0— вероятность того, что прибор свободен; p1 - вероятность того, что прибор занят и очередь отсутствует; p2 - вероятность того, что прибор занят и имеется одно требование в очереди; p3 - вероятность того, что прибор занят и имеются два требования в очереди; М - среднее число требований, находящих- ся на обслуживании; M 2 - среднее число требований, находящихся в системе;

π0 , pотк , p'' имеют тот же смысл, что и для системы с отказами.

56