бытия в потоке Е*, следовательно, от того, в каком из k состояний находится система [от значения n(t)]. Следовательно, разбиение каждого состояния систе- мы на k состояний позволяет свести исследуемый процесс к марковскому n(t), который более удобен для исследования.

4.3. Марковские модели процессов с ограниченным последействием

Рассмотрим способ, позволяющий в необходимых случаях описывать

процессы функционирования систем уравнениями для марковского процесса с непрерывным временем и дискретным числом состояний при потоках событий, имеющих ограниченное последействие. В качестве потоков с ограниченным последействием будем рассматривать только потоки Эрланга, считая, что про-

извольный стационарный поток с ограниченным последействием всегда можно заменить обобщенным потоком Эрланга способом, рассмотренным в п. 4.2.

Рассмотрим дискретный марковский процесс (рис. 11), состояния которо- го составляют множество X = {x0, x1, …, xn}. Введем в рассмотрение подмноже- ство Z = {Yβ, Yγ} и транзитивное подмножество состояний Y = {x1, x2, …, xn-1}.

Особенность данного процесса состоит в том, что каждое из подмножеств

Yβ и Yγ состоит из единственного состояния и для определенности будем счи-

тать, что Yβ = {x0}, Yγ = {xn}.

Состояние x0 является входным для подмножества Y, а xn является выход- ным состоянием.

Введем ограничение, состоящее в том, что процесс блуждания по состоя- ниям подмножества Y возможен только в одном направлении: x1 → xn.

Впервую очередь, нас будет интересовать закон распределения времени

Тпребывания в транзитивном подмножестве состояний Y при условии, что

время отсчитывается от момента начала блуждания процесса из состояния x0 до момента выхода поцесса из состояний подмножества Y, т.е. до момента перехо-

да процесса из состояния xn-1 в состояние xn подмножества Yγ.

Система дифференциальных уравнений для определения закона распре- деления времени Т имеет вид:

∙

p0 (t) = −λ0 p0 (t),

∙

p1 (t) = −λ1 p1 (t)+ λ0 p0 (t), (4.38)

. . . . . . . . . . . . .

∙

pn (t) = λn−1 pn−1 (t).

Начальным условием для интегрирования этой системы дифференциаль-

ных уравнений является

68

Решив систему дифференциальных уравнений (4.38) и найдя вероятность pn(t), можно определить плотность распределения случайной величины Т

Рассмотрим частный случай, когда процесс блуждания по состояниям яв- ляется простейшим. В этом случае все интенсивности λi потоков являются по- стоянными величинами.

Здесь случайная величина Т - время пребывания в транзитивном подмно- жестве состояний Y - является суммой случайных величин τi, распределенных по показательному закону с параметрами λi. Очевидно, закон распределения случайной величины Т - композиция показательных законов распределения с параметрами λi, следовательно, является обобщенным законом Эрланга. Поря- док закона Эрланга определяется количеством состояний подмножества Y. Для n-1 состояний подмножества Y имеем обобщенный закон Эрланга (n-1)-го по- рядка f*n-1(t).

Для рассматриваемого частного случая, таким образом, закон распреде- ления случайной величины Т можно найти, не интегрируя систему уравнений

(4.38).

данный процесс с ограниченным последействием можно представить в виде марковского случайного процесса с множеством состояний X = {x0, x1, …, xn-1, xn} путем введения дополнительных состояний xi (i = 1, 2, …, n-1). При этом

произвольные потоки переходов процесса из состояния в состояние заменяются потоками Эрланга соответствующего порядка, а состояние ~x представляется в виде транзитивного множества состояний Y = {x1, x2, …, xn-1}. В этом случае процесс с ограниченным последействием может быть описан дифференциаль- ными уравнениями (4.38).

Библиографический список

1.Гнеденко Б.В. и др. Приоритетные модели обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1973.

2.Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: ЛКИ, 2007.

3.Ивницкий В.А. Теория сетей массового обслуживания. М.: Изд-во физико-математической литературы, 2004.

69

4.Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.:

Высшая школа, 1982.

5.Карташевский В.Г. Основы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 2006.

6.Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966.

7.Кокс Д., Смит В. Теория очередей. М.: Мир, 1966.

8.Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. М.: Энергоатомиздат, 1987.

9.Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. М.: Мир, 1965.

10.Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. М.: Связь. 1966.

11.Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1971.

12.Саульев В.К. Математические модели теории массового обслуживания. М.: Статистика, 1979.

13.Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. М.: Высшая школа, 2001.

14.Тараканов К.Е., Овчаров Л.А., Тырышкин А.Н. Аналитические методы исследования сис- тем. М.: Сов. радио, 1974.

15.Таранцев А.А. Инженерные методы теории массового обслуживания. М.: Наука, 2007.

16.Тихоненко О.М. Модели массового обслуживания в информационных системах. Минск: УП «Технопринт», 2003.

17.Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: УРСС, 2004.

70