2.5. Модели с дискретными состояниями и непрерывным временем

Вводится конечное множество дискретных состояний системы X= (x 0 ,x 1 ,…,x n ) таким образом, чтобы выполнялись следующие условия*:

- в любой рассматриваемый момент времени система обязательно находится в одном из состояний, составляющих множество X;

- система не может одновременно находиться в двух или более состояниях из множества X.

Логика процесса смены состояний описывается ориентированным графом (рис. 14), вершины которого соответствуют состояниям системы, а дуги – возможным переходам в другие состояния. Отсутствие у вершины входящих дуг означает невозможность перехода в соответствующее состояние из какого-либо другого. Такие состояния называются начальными, или источниками (x0 на рис. 14). Отсутствие у вершины исходящих дуг означает невозможность выхода из соответствующего состояния. Такие состояния называются конечными, или терминальными (x5 и x7 на рис. 14). При нали-

чии у вершин входящих и исходящих дуг соответствующие состояния называются транзитивными (остальные состояния на рис. 14).

Процесс смены состояний рассматривается в непрерывном времени, причем моменты времени, в которые происходят переходы системы из одного состояния из множества X в другое, и длительности интервалов времени пребывания системы в отдельных состояниях являются непрерывными случайными величинами.

Количественное описание такого процесса мо жет быть обеспечено только в среднем, применительно к многократному его повторению. Поэтому для описания состояния системы с дискретными состояниями и непрерывным временем используется закон распределения веро ятностей дискрет-

----------------

Указанные требования являются достаточно очевидными и распространяются т акже на F- и P-схемы. Однако здесь они имеют особое значение для формирования и поним а- ния используемого математического аппарата.

ной случайной величины X(t):

45

p 0 (t)=P(x (t))=x 0 ), p 1 (t)=P(x (t))=x 1 ),

. . .

p n (t)=P(x (t))=x n ),

n

pi t 1 , t 0, ,

i 0

где каждая вероятность p i (t) представляет собой вероятность пребывания системы в состояниии xi в момент времени t в условиях многократного повторения рассматриваемого процесса смены состояний, начиная с t= 0.

Кроме того, для количественного описания процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем могут использоваться пер еходные вероятности. Переходная вероятность p i j (t0 , ) - это условная вероятность того, что в момент времени t'= t0 + система окажется в состоянии xj, если в момент времени t0 она была в состоянии xi.

Процесс смены состояний называется марковским, или процессом без последействия, если все его переходные вероятности зависят только от указанных в их обозначении параметров: в каком состоянии xi система была в момент времени t0 и в какое состояние xj она должна попасть в момент времени t0 + . Другими словами, все вероятностные характеристики марковского случайного процесса "в будущем" (t>t0 ) зависят только от его текущего состояния в момент t0 и не зависят от того, каким образом и когда оно достигнуто.

При построении математических моделей таких процессов используется аппарат теории потоков случайных событий. Потоком случайных соб ытий, или случайным потоком, - называется последовательность моментов времени {tn }, 0≤t1 ≤t2 ≤...≤tn ≤… наступления некоторых событий, в которой все tn (n=1,2,...) являются непрерывными случайными величинами. Поток случайных событий можно представить также как последовательность интервалов времени между отдельными событиями { n }: n =tn – tn – 1 , n≥1, t0 =0, где отдельные n также являются непрерывными случайными величинами. Понятие случайного потока предполагает невозможность регистрации бесконечного числа событий на конечном интервале времени.

Если события, моменты наступления которых образуют случайный поток П, являются неотличимыми друг от друга по каким -либо признакам, они называются однородными, а поток П - однородным случайным потоком.

46

Назовем наиболее важные свойства случайных потоков.

1. Ординарность - невозможность одновременного наступления двух

или более событий. Если рассматривать вероятность наступления на некотором малом интервале времени t после момента t более одного события p > 1 (t, t), то при ∆t→ 0 для ординарного потока она окажется бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем t:

2. Отсутствие последействия - количества событий, появляющихся на непересекающихся конечных интервалах времени, являются независимыми случайными величинами. Отметим, что данное свойство фо рмально может иметь место только при условии, что число событий, поро ждающих случайный поток, не ограничено.

Если однородный поток обладает свойствами ординарности и отсутс т- вия последействия, он называется пуассоновским. Основная количественная характеристика пуассоновского потока - интенсивность, или среднее число событий в единицу времени:

_

t lim k t, t . (2.14)

t 0 t

Определим среднее число событий на малом интервале времени t как математическое ожидание дискретной случайной величины с возмо жными значениями 0,1,2,...,k ,... и с учетом (2.13)

_

k t, t 0 p 0 t, t 1 p1 t, t 2 p 2 t, t p 1 t, t 0 t ,

где p 0 (t, t) - вероятность отсутствия событий на интервале t; p 1 (t, t) - вероятность регистрации одного события на интервале t и так далее.

В результате получим:

t lim p 1 t, t .

t 0 t

3. Стационарность - интенсивность случайного потока постоянна во времени:

(t) = = const.

Пуассоновский поток, обладающий свойством стационарности, назы-

вается простейшим.

47

Рассмотрим развитие марковского случайного процесса, граф которого представлен на рис. 14, считая, что в начальный момент времени система находится в состоянии x0. Поскольку момент времени t1 перехода системы в состояние x1 является непрерывной случайной величиной, будем рассматривать его как момент наступления первого события случайного потока П01, характеризующегося интенсивностью 01(t). При этом принимается, что после перехода в x1 поток П01 обрывается и возникает новый поток П12 переходов из x1 в x2 с интенсивностью 12(t).

Рассматривая дальнейшее развитие процесса, будем использовать такой принцип для всех состояний. Например, если система находится в состоянии x4, существуют два потока П45 с интенсивностью 45(t) и П46 с интенсивностью 46(t) переходов из x4 соответственно в x5 и x6. Если раньше наступит первое событие потока П45, система перейдет в состояние x5 и потоки П45 и П46 прервутся. Если раньше наступит первое событие потока П46, система перейдет в состояние x6, потоки П45 и П46 прервутся и возникнет поток П67 переходов из x6 в x7. Введенные таким образом случайные потоки Пij называют потоками обрыва длительности состояний, а их интенсивности ij(t) - интенсивностями обрыва длительности состояний или интенсивностями смены состояний.

Чтобы случайный процесс в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки, переводящие систему из состояния в состояние, были пуассоновскими [40].

Перейдем к количественному описанию рассматриваемого процесса. Пребывание системы в состоянии x0 в некоторый момент времени

_

t'=t0 + t следует рассматривать как сложное событие: C0=A0 B1 , где A0

_

- пребывание системы в состоянии x0 в момент t; B1 - невыход из состояния

48

ность случайного потока П01 в соответствии с (2.14), считая малой величиной:

p 00(t, )=1-p 01(t, )=1-p (1)(t, )=1- 01(t) -0( ),

где p(1)(t, ) - вероятность наступления события потока П01 на интервале . Определим приращение вероятности p0 за интервал времени и найдем

t'=t0 + представляет собой сложное событие: C1=A0 B1 A1 B 2 , где

A0 и A1 - пребывание системы в момент t соответственно в состояниях x0 и

_

x1; B1 - переход из x0 в x1 на интервале ; B 2 - невыход из состояния x1 за интервал времени . Вероятность события C1 определяется с учетом его состава следующим образом:

p 0(t)p 01(t )+p 1(t)p 11(t ) p 0(t)p 01(t )+p 1(t)(1-p 12 (t )),

где p11(t, ) - вероятность невыхода из x1 за интервал времени ; p12(t, ) - вероятность противоположного события - перехода из x1 в x2 за интервал .

Аналогично предыдущему случаю, используя интенсивность случайного потока П12, найдем производную вероятности p1:

быть получены дифференциальные уравнения для вероятностей всех состояний марковского процесса с дискретными состояниями и непреры вным

49

временем, которые носят название уравнений А. Н. Колмогорова. В общем случае система уравнений А. Н. Колмогорова имеет вид

где i j (t) - интенсивности случайных потоков, соответствующих исходящим дугам i-й вершины; j i (t) - интенсивности случайных потоков, соответствующих входящим дугам i-й вершины.

Для практического использования систему (2.17) необходимо допо л- нить условием нормировки:

i 0

В ряде случаев система (2.17), решаемая изолированно от (2.18), может не иметь решения.

При заданном начальном распределении вероятностей состояний pi(0), i=0,1,...,n, отвечающем условию нормировки, система уравнений (2.17), (2.18) позволяет определить распределение вероятностей состояний процесса для любого произвольного момента времени t> 0.

Для простейшего марковского процесса смены состояний, у котор ого интенсивности i j постоянны, иногда практический интерес представляет только финальное распределение вероятностей, соответствующее установившемуся режиму при t . За исключением некоторых частных случаев, оно может быть определено решением системы алгебраических уравнений, получаемых из (2.17), если положить все производные равными нулю:

и заменить одно из полученных уравнений условием нормировки (2.18). Определяемые по (2.18), (2.19) финальные вероятности оказываются

пропорциональны времени пребывания процесса в соответствующих состояниях. Таким образом, установившийся простейший марковский пр оцесс смены состояний обладает эргодическим свойством (среднее по вр емени совпадает со средним по множеству реализаций).

Рассмотрим наиболее часто используемые для решения практических задач модели процессов и систем с дискретными состояниями и непреры в- ным временем. На рис. 15 показаны графы процессов "чистой гиб ели" (а), "чистого размножения" (б), "гибели и размножения" (в). В частных случаях

50

могут задаваться i = , i = или i =i. . Подробный анализ таких процессов содержится, например, в [1,40].

Для одноканальной и многоканальной систем массового обслуживания (СМО) с отказами (рис. 16) номер состояния соответствует числу занятых каналов, - интенсивность потока заявок, - производительность канала.

Для одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной очередью длиной m (рис. 17, а) состояния вводятся следующим образом: x0 - канал свободен; x1- канал занят, очереди нет; x2 - канал занят, одна заявка в очереди; xm+1 - канал занят, m заявок в очереди.

Для n-канальной СМО с ожиданием и ограниченной очередью длиной m (рис. 17,б) состояния вводятся следующим образом: x0 - все каналы свободны; x1 - занят один канал, остальные свободны; xn - все каналы заняты,

очереди нет; xn+k - все каналы заняты, k заявок в очереди; xn+m - все каналы и места в очереди заняты.

Существует широкое разнообразие вариантов построения моделей СМО (Q-схем). В них рассматриваются неоднородность потока заявок, наличие последействия, параллельная работа нескольких простейших вар иантов

51