2.Разброс составляющих выборку реализаций случайной величины м о- жет оказаться существенно меньше истинного ее разброса.

3.В выборке могут оказаться реализации случайной величины, знач и- тельно отличающиеся от ее среднего значения, в непропорционально большом количестве.

В первом случае соотношения (3.16)–(3.19) дадут неточные результаты. Чаще всего оценки требуемого количества опытов оказываются завышенными.

Во втором случае оценки требуемого количества опытов при использовании итерационных алгоритмов оказываются резко заниженными, а р езультаты моделирования – неточными. Во избежание подобных ситуаций рекомендуется выбирать объем начальной серии опытов не менее 100-500.

В третьем случае возможны завышенные оценки требуемого количества опытов с получением неточных результатов моделирования. Обнар ужить такие ошибки можно только на основе независимого контрольного моделирования, например, с помощью других генераторов случайных чисел или с изменением их начальной установки.

Практика использования итерационных алгоритмов получения оценок позволяет рекомендовать в качестве наиболее надежного способа решения указанных проблем переход к интерактивным алгоритмам, предоставляющим пользователю необходимую информацию и возможность управления объемами дополнительных серий опытов.

Отметим также, что для малых выборок, например n≤30, в математической статистике разработаны более точные способы определения допустимых (толерантных) интервалов значений оценки и соответствующих доверительных вероятностей, свободные от гипотезы о нормальном законе ее распределения

[12, 35, 43].

3.4. Пример использования метода Монте-Карло

Одна из областей эффективного использования метода статистич еского моделирования – решение трудоемких вычислительных задач. Классическим примером является вычисление определенных интегралов методом Монте - Карло. Эта задача заслуживает особого внимания, так как приемы и результаты ее решения широко используются как в теории статистического моделир о- вания, так и при его практическом применении.

Если аналитического выражения для интеграла не существует, обычно используют приближенные итерационные методы, трудоемкость которых, особенно при многократном интегрировании, может оказаться весьма выс о-

66

кой. Применение здесь метода Монте-Карло может дать существенный выигрыш в трудоемкости.

Рассмотрим сначала простейший случай вычисления однократного интеграла с конечными пределами интегрирования:

b

J g x dx , 0 ≤ g(x) ≤ gmax .

a

Значение J совпадает с величиной S заштрихованной площади под кривой g(x) на рис. 21. С другой стороны, в соответствии со свойствами равномерного закона распределения, площадь S пропорциональна вероятности pS попадания в заштрихованную область случайной точки, координаты которой распределены по равномерному закону в преде-

лах прямоугольника :

S=pS S =pS gmax(b -a ).

Вероятность pS может быть найдена на основе n опытов следующим образом.

В отдельных опытах с использованием стандартного генератора случайных чисел i, равномерно распределенных в интервале [0; 1],

“разыгрываются” координаты случайной точки А:

xj =a+(b -a ) i , y j =g max i + 1 . S

y j <g (x j ).

После проведения n опытов оценка значения интеграла вычисляется просто:

J * S nns gmax b a ,

где nS количество попаданий точки А в область S.

Требуемое количество опытов и точность оцениваются рассмотренными выше способами.

67

рии n опытов. В каждом опыте в соответствии с законами распределения ар-

Законы распределения для x1 ,x2 ,…,x m на практике выбираются в зависимости от вида пределов интегрирования и с учетом доступности нео бходимых генераторов случайных чисел. Чаще всего используют:

-нормальный закон для бесконечных a и b,

-экспоненциальный закон, если только один предел конечен,

-равномерный закон для конечных a и b.

Пример:

69