в результате чего получаем: m =0, D =G0=1; W(p) - передаточная функция формирующего фильтра

где h - шаг интегрирования модели.

Формирующий фильтр реализуем добавлением в систему уравнений (3.27) дополнительного уравнения

d 1 kф , dt Tф Tф

которое должно интегрироваться совместно с остальными уравнениями модели, и начального условия (0)=m . Значения для каждого шага интегрирования формируются путем 12-кратного обращения к генератору случайных чисел и использования преобразования ( ).

Отметим, что вычислительная трудоемкость модели существенно повысится по сравнению с рассмотренным выше ее вариантом. Теперь для получения каждой реализации моделируемого процесса, помимо дополнитель-

ных арифметических операций потребуется еще 12T h обращений к генера-

тору случайных чисел (T - продолжительность моделируемого процесса). Кроме того, для такой модели оказывается недопустимым использование итерационных методов интегрирования с автоматическим выбором шага.

5. СПОСОБЫ СНИЖЕНИЯ ТРУДОЕМКОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

5.1. Основные методы уменьшения дисперсии оценки

143

Как видно из представленных в подразд. 3.3 соотношений, уменьшение дисперсии используемой при статистическом моделирова нии оценки искомой характеристики позволит пропорционально снизить количество опытов, необходимых для получения результата с заданной точностью.

Рассмотрим наиболее известные методы уменьшения дисперсии оце н- ки на примере задачи определения математического ожидания некоторого показателя качества динамической системы со случайными параметрами.

Модель динамической системы задается в виде системы уравнений

где X(t)=(X1 (t),X2 (t),…,Xn (t)) - вектор переменных состояния системы; V=(V1 ,V2 ,…,Vm) - вектор случайных параметров. Качество системы характеризуется мгновенным значением переменной состояния X1 в момент времени t1 . Таким образом, задача сводится к оценке математического ожида-

ния mx=M [X1 (t,V)].

При использовании стандартной схемы статистического моделирования оценка mx для заданной m-мерной ПРВ вектора случайных параметров f v(V) определяется по формуле (3.2), а необходимое для обеспечения заданной точности количество опытов - по формуле (3.19).

5.1.1. Метод выделения главной части

Решение системы (5.1) X1 (t,V), которое, возможно, не может быть найдено аналитически, заменяют приближенным выражением Y(t,V), удобным для аналитических преобразований. Например:

где a j (t),b j k(t) - некоторые функции времени.

Вводится новая переменная состояния Z(t,V)=X1 (t,V)-Y(t,V) и в системе уравнений (5.1) выполняется замена переменной X1 на Z путем подстановки:

144

или

X1 t,V Z t,V a0 t a1 t V ak t V k ,

X1 t,V Z t,V a0 t a1 t V ak t V k .

Оценка искомого математического ожидания определяется в виде: mx=M [Y(t1 ,V)]+M [Z(t1 ,V)],

где первое слагаемое может быть найдено аналитически:

M Y t1,V Y t1,V fV V dv1...dvm ,

G

G - область возможных значений вектора V, а второе слагаемое определяется по методу статистического моделирования на основе многократного реше-

ных параметров, N - количество решений системы уравнений для различных

V (i).

При удачном выборе функции Y(t,V) дисперсия случайной величины Z(t1 ,V) может оказаться существенно меньше, чем дисперсия X1 (t1 ,V), что и приведет к сокращению требуемого количества опытов.

Пример. Рассмотрим достаточно простой пример, все необходимые расчеты для которого могут быть выполнены точно на основе аналитич еских решений. Пусть требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X апериодического звена 1-го порядка через 1с после подачи на вход сигнала 1(t). Коэффициент передачи звена k=4. Постоянная времени и на-

чальное значение выходного сигнала - случайные: T 1V1 , X(0)=V2 . Па-

раметр V1 распределен по равномерному закону в интервале [0; 1] , параметр V2 - по равномерному закону в интервале [1; 2] , V1 и V2 статистически независимы. Допустимая абсолютная погрешность результата доп = 0,01.

145

Искомое математическое ожидание mx=M[X(1)], дисперсия D[X(1)] и необходимое количество опытов могут быть оценены на основе статистического моделировани или определены аналитически.

Сначала получим точное решение задачи. Изменение сигнала X во времени описывается дифференциальным уравнением

Его математическое ожидание при t=1 легко вычисляется аналитически:

146

M[Y(1)]=(M[V2 ] - k)(1-M[V1 ] )+k = (1,5-4)(1-0,5)+4=2,750.

Выполним в уравнении (5.2) замену переменной:

X=Z+V2 +k V1 t-V1 V2 t,

Для t=1 интегрированием аналитического решения получим:

M[Z(1)] = - 0,331, D[Z(1)] = 0,0796, Nтреб2 7164.

Таким образом, представляется возможным для рассматриваемой задачи путем выделения главной части в виде (5.3) сократить трудоемкость