При реализации на ЦВМ математической модели непрерывной системы в форме (4.27) или (4.35) и использовании методов пошагового интегрирования дифференциальных уравнений фактически применяется аппро ксимация непрерывного случайного процесса дискретным. Такой дискретный процесс имеет период дискретизации, равный шагу интегрир ования h, и сохраняет свое значение в течение периода. Определим корреляционную функцию и спектральную плотность дискретного случайного пр оцесса, аппроксими-

рующего непрерывный белый шум с интенсивностью G0:

K *( )=G01( )-G01( -h),

Поэтому, если в качестве источника белого шума используется генер а- тор случайных чисел с некоторым законом распределения, характеризу емым дисперсией D , в соотношении (4.46) в качестве спектральной плотности входного сигнала для формирующего фильтра следует брать значение S0=D h. Например, при использовании стандартного генератора псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0; 1] следует брать S0=h/12.

Отметим, что область использования формирующих фильтров не о граничивается статистическим имитационным моделированием. Так полученные выше основные соотношения метода динамики средних могут использоваться только в предположении, что входные сигналы системы являются белыми шумами. Если необходимо учесть входной сигнал в виде случайного процесса с заданной корреляционной функцией, следует добавить в исходную систему уравнений (4.27) или (4.35) соответствующее уравнение формирующего фильтра.

4.9.2. Метод скользящего суммирования

Метод формирующего фильтра удается использовать, только если заданная корреляционная функция моделируемого случайного процесса позволяет получить передаточную функцию фильтра рассмотренным выше способом. Во многих случаях заданный вид корреляционной функции не

137

позволяет это сделать. Тогда приходится видоизменять заданную корреляционную функцию или использовать иные методы.

Метод скользящего суммирования свободен от указанного огранич е- ния. Он применяется при цифровом моделировании дискретных или случайных непрерывных процессов и может рассматриваться как модификация метода формирующего фильтра.

Рассмотрим сначала более простой случай, когда вид заданной корр е- ляционной функции позволяет подобрать передаточную функцию форм и- рующего фильтра. Тогда на основе обратного преобразования Лапласа определяется весовая функция фильтра w(t)=L-1[W(p)]. Метод основан на использовании интеграла свертки

t

X t w t d ,

0

где X(t) - реализация выходного сигнала - случайного сигнала с заданной корреляционной функцией; (t) - реализация случайного входного сигнала (белого шума).

При цифровом моделировании интеграл свертки реализуется в виде суммы, что эквивалентно приближенному интегрированию по методу пр я- моугольников:

t=nh, wk=w(kh), n-k= [(n-k)h].

Для моделирования случайного дискретного процесса непосредственно используется дискретная форма интеграла свертки:

k 1

Иногда удобнее использовать соотношения, эквивалентные (4.47)-(4.48):

k 1

Поясним вычислительную процедуру метода скользящего суммирования с помощью временной диаграмм ы (рис.45). Для вычисления значения

138

процесса на n-м шаге x(n) суммируются произведения совпадающих по вертикали значений и w.

Для вычисления следующего значения x(n+1) верхний график сдвигается вправо на один шаг и так далее. При практической реализации метода количество слагаемых "скользящей" суммы принимается постоянным. Для точного воспроизведения заданной корреляционной функции оно должно соответствовать интервалу затухания tп весовой функции до (3 5)% от ее максимального значения, например, в (4.47)

В зависимости от соотношения tп и h может потребоваться до 100 и более слагаемых. Поэтому вычислительная трудоемкость метода скользящего суммирования, как правило, оказывается значительно выше трудоемкости метода формирующего фильтра.

Этот недостаток вполне компенсируется возможностью воспроизведения произвольной формы корреляционных функций. Для рассмотре нного выше примера воспроизведения корреляционной функции вида

139

Kx( )=Dxe- | |

формально получена функция w( ), позволяющая получать на основе интеграла свертки реализации процесса X(t) с такой корреляционной функцией, даже если соответствующий формирующий фильтр в форме динам ического звена физически не реализуем. Если при этом в качестве (t) используется белый шум, то получаемая w( ) будет совпадать с K( ) с точностью до масштабного коэффициента. Поэтому для формирования с помощью метода скользящего суммирования случайного процесса с заданной корреляционной функцией Kx( ) произвольного вида можно порекомендовать использовать непосредственно в качестве весовой функции в соотношениях (4.47)-(4.50) с последующим масштабированием получаемых значений случайного процесса с учетом соответствия обеспечиваемой корреляцио нной функции заданной. Здесь можно ограничиться сравнением получаемой вы-

4.9.3. Особенности практической реализаци и генераторов случайных процессов

Как следует из вышеизложенного, процедура формирования случайного процесса с заданными характеристиками должна предусматривать два последовательных этапа преобразования исходного процесса в форме белого шума: формирование заданного закона распределения и обеспечение заданных корреляционных свойств. Проанализируем взаимное влияние этих пр е- образований.

Преобразование закона распределения одним из рассмотренных выше методов можно рассматривать как преобразование сигнала нелинейным безынерционным звеном. Например, для метода обратных функций статиче-

140

ская характеристика такого звена будет иметь вид (u)=F-1(u). В зависимости от вида (u) безынерционная нелинейность может изменить корр еляционную функцию преобразуемого сигнала.

В свою очередь, формирующий фильтр, представляющий собой линейное динамическое звено, видоизменяет не только спектральную пло тность и корреляционную функцию, но и закон распределения формируем ого сигнала. При достаточно высоком порядке знаменателя передаточно й функции формирующий фильтр нормализует закон распределения преобр азуемого сигнала. Для компенсации такого побочного эффекта обычно рекомендуется на первом этапе обеспечить заданные корреляционные свойства моделируемого процесса с помощью формирующего фильтра или скользящего суммирования, после чего, вычислив математическое ожидание mu и сред-

неквадратическое отклонение u полученного процесса, выполнить дополнительное нелинейное преобразование сигнала вида

Считается, что после этого в соответствии с (3.25) будет восстано влен исходный равномерный в интервале [0; 1] закон распределения значений процесса. Затем можно проводить формирование заданного закона распр е- деления.

Однако при практической реализации генератора случайного процесса указанные теоретические результаты, как правило, не подтверждаются. Это связано, во-первых, с невысоким качеством стандартных генераторов равномерно распределенных случайных чисел, используемых в распростр аненных программных средствах, применяемых при реализации моделей на ЦВМ. Вовторых, все теоретические результаты, на которых основан метод статистич е- ского моделирования, при конечных объемах выборок, получаемых на практике, имеют заведомо ограниченную достоверность.

Вследствие этого закон распределения псевдослучайной последовательности 1, 2 ,..., n , получаемой со стандартного генератора, в большей или меньшей степени отличается от равномерного, а корреляционная функция получаемого на его основе "белого шума" - отличается от -функции. Кроме того, взаимное влияние рассмотренных этапов преобразования пр оцесса оказывается более существенным и в общем случае непредсказу емым.

Таким образом, точное воспроизведение заданных характеристик случайного процесса является сложной задачей, требующей выполнения не-

141