Оценка математического ожидания конечной о шибки системы определяется как

Необходимое количество опытов n определяется с учетом требуемой точности результата по (3.19) или на основе соответствующего итерацио нного алгоритма.

Отметим в заключение две особенности реализации такой модели методом статистического моделирования:

-необходимое количество опытов (имитируемых реализаций пр оцесса наведения) не зависит от количества учитываемых случайных пар аметров модели;

-если требуется оценить показатель качества системы для различных ситуаций, отличающихся исходными данными (разные фиксированные значения параметров или законы распределения), рассмотренная процедура в полном объеме, включая серию опытов, должна быть повторена для каждого варианта исходных данных.

3.9.Моделирование случайных векторов

Принятое в рассмотренном выше примере допущение о статистич еской независимости случайных параметров модели позволило обеспечить использование для каждого из них самостоятельного генератора случайных чисел. В общем случае приходится иметь дело с совокупностью статистически зависимых случайных параметров. Тогда возникает задача моделир ования системы случайных величин, или случайного вектора.

Случайным вектором (системой случайных величин, многомерной случайной величиной) называется упорядоченный набор случайных величин X=(X1,X2,…,Xn). Составляющие случайного вектора (случайные координаты) X1,X2,…,Xn являются одномерными случайными величинами.

Рассмотрим основные характеристики случайных векторов [20], используемые при моделировании. Ограничимся случаем, когда координаты являются непрерывными случайными величинами.

Функция распределения вероятностей случайного вектора X представляет собой n-мерную функцию совместного распределения его координат:

Fx(x1 ,x2 ,…xn )=P(X1 <x 1 ,X2 <x 2 ,…,Xn <xn ). (3.35)

Аналогичный смысл имеет плотность распределения:

99

Для некоторой подсистемы m<n координат вектора X1 ,X2 ,…,Xm по

При m=1 получим безусловные ФРВ и ПРВ случайной координаты. Кроме того, рассматриваются условные ПРВ одной или нескольких слу-

и матрица корреляционных моментов связи, называемая чаще просто ма т- рицей моментов:

i=1,2,...,n.

Остальные элементы - корреляционные моменты связи случайных координат, или ковариации:

100

причем i j = j i , то есть матрица (3.41) - является симметричной.

Если закон распределения координат случайного вектора нормальный, он полностью задается вектором математических ожиданий и матр ицей моментов.

В частном случае, когда координаты случайного вектора статистич ески независимы, их совместный закон распределения полностью определяется индивидуальными законами распределения отдельных координат, а для ФРВ и ПРВ имеют место соотношения:

Fx(x1 ,x 2 ,…xn )=F1 (x 1 )F2 (x2 )…Fn (x n ), f x(x1 ,x 2 ,…xn )=f 1 (x 1 )f 2 (x2 )…f n (xn ).

Соответствующим образом упрощаются соотношения (3.37)-(3.40), а все элементы матрицы (3.41), кроме расположенных на главной диагонали, обращаются в ноль.

Рассмотрим некоторые наиболее известные методы моделирования случайных векторов.

3.9.1. Метод условных распределений

На основе (3.37)-(3.39) совместная многомерная ПРВ статистически зависимых координат n-мерного случайного вектора может быть выражена через одномерные ПРВ отдельных координат:

fx(x1,x2,…xn)=f1(x1)f2(x2 x1)…fi(xi x1,x2,…,xi-1)…fn(xn x1,x2,…,xn-1),

где безусловная ПРВ координаты x1 определяется аналогично (3.37):

условная ПРВ координаты x2 определяется после выполнения (3.37), (3.42):

f12 x1 , x2 ,

f1 x1

Процедура формирования реализаций случайного вектора включ ает в себя следующие этапы:

101

1.В соответствии с безусловной ПРВ f1(x1) одним из рассмотренных в подразд. 3.5 способов генерируется значение x1j.

2.На основе условной ПРВ f2(x2 x1) определяется конкретный вариант

закона распределения координаты x2, соответствующий x1=x1j: f x2 x1 j f x2 x1 x1 x1 j .

3.В соответствии с ПРВ f2(x2 x1j) генерируется значение x2 j .

4.На основе условной ПРВ f3(x3 x1,x2) определяется конкретный вариант закона распределения координаты x3 f3(x3 x1j,x2j).

5.В соответствии с ПРВ f3(x3 x1j,x2j) генерируется значения x 3 j и так

далее.

В результате получается одна псевдослучайная реализация вектора X -

x1 j , x2 j ,...,xn j .

Рассмотренный метод универсален, но требует большой и тщательной подготовительной работы. Чаще всего условные ПРВ не удается получить в аналитическом виде и приходится использовать приближенные м етоды. Тогда при реализации генератора на ЦВМ требуется большой объем опер ативной памяти для хранения многомерных массивов условных ПРВ и значительные затраты машинного времени на многократное выполнение пр оцедур интерполяции. Поэтому данный метод обычно применяют только для случайных векторов малой размерности.

3.9.2. Методы преобразования случайных координат

Большая группа методов моделирования случайных векторов предусматривает формирование требуемых реализаций путем преобразования некоторого исходного вектора со статистически независимыми координатами. Рассмотрим подробно наиболее распространенный на практике метод линейного преобразования. Данный метод обеспечивает выработку реализаций случайного вектора X по заданным для его координат вектору матема-

тических ожиданий mx и матрице моментов Kx.

Линейное преобразование n-мерного вектора U в n-мерный вектор X задается некоторой матрицей размерностью n n : X=AU.

102

Пусть координаты случайного вектора U - статистически независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Тогда его матрица моментов (3.41) представляет собой единичную матрицу:

Для получения из такого вектора U случайного вектора X с заданной матрицей моментов Kx и нулевыми математическими ожиданиями всех координат обычно используют треугольную матрицу:

Аналогично могут быть получены элементы всей матрицы A для любой размерности вектора X.

Если заданы ненулевые математические ожидания координат, для получения вектора X выполняется преобразование X=AU+ mx :

x1 a11u1 mx1 ,

x2 a21u1 a22u2 mx2 ,

. . .

xn an1u1 an2u2 annun mxn .

При наличии соответствующего программного обеспечения можно ис-

пользовать тот факт, что матрица A является решением уравнения AAт=Kx

[46].

Отметим, что на основе рассмотренно го линейного преобразования обеспечиваются только заданные математические ожидания и корреляционные связи координат. Этого достаточно для точного во спроизведения нормального закона распределения, если для координат вектора U используется генератор стандартизованного нормального закона. Однако область применения метода линейного преобразования не ограничивается только но р- мальным законом распределения, что определяется следующими о бстоятельствами:

1.Определение многомерного закона распределения случайного ве ктора является достаточно сложной вычислительной задачей, особенно при использовании экспериментальных данных. Поэтому часто огранич иваются определением только вектора математических ожиданий и матрицы моме н- тов. Очевидно, для последующего моделирования случайного вектора в таких случаях рассмотренный метод вполне достаточен.

2.В рамках рассмотренного метода на законы распределения координат

исходного вектора U не накладываются никакие ограничения, кроме значений математических ожиданий и дисперсий. Поэтом у метод в принципе может применяться для воспроизведения отличных от нормального многомерных законов распределения с точностью до заданных вектора математических ожиданий и матрицы моментов.

104