- оценивается вероятность того, что при данном числе опытов n и при правильном подборе теоретического закона эта мера могла бы принять значение, большее или равное полученному.

Величина этой вероятности и является критерием согласия. Таким о бразом, критерий согласия - это вероятность того, что на основе выборки рассматриваемого объема могло бы быть получено худшее соответствие теор е- тического и выборочного законов.

Малая величина полученного критерия согласия свидетельствует о том, что скорее всего теоретический закон распределения подобран неверно (статистическая гипотеза отвергается). При достаточно большой величине критерия согласия нет оснований отвергать подобранный теоретический закон (статистическая гипотеза принимается).

3.7.1. Критерий согласия Пирсона

Критерий согласия Пирсона, или критерий 2, наиболее удобен для проверки соответствия теоретического закона распределения выборочному, полученному в форме статистического ряда или гистограммы.

В качестве меры расхождения теоретического и выборочного законов распределения используется величина

где n - объем выборки; m - количество разрядов; nj - число наблюдений в

свободы распределения 2: r=m-s-1, где s - количество параметров теоретического закона, оценивавшихся по выборке. Например, для нормального закона в общем случае s= 2, а если mx или x было заранее известно, s= 1. Аналитические зависимости для закона распределения 2 известны, но на практике удобнее пользоваться таблицами (при n 50 табл. 9).

86

Вследствие случайности выборки при любом q существует риск необоснованно отвергнуть или принять то или иное теоретическое распределение. Жестких условий, безошибочно разграничивающих области согласия и несогласия теоретического распределения с выборочным, сформулировать невозможно. Поэтому правило принятия решения на основе критерия Пирсона имеет определенную степень гибкости, учитывающую риск получения ошибки:

1. Определяется значение q и в строке таблицы распределения 2, соответствующей рассматриваемому r, находятся ближайшие к полученному

q значения.

2. В верхней строке таблицы находится соответствующее значение P или определяется диапазон, которому принадлежит значение P.

В зависимости от значения P принимается одно из возможных решений: - при P 0,01 считается, что согласия между теоретическим и выборочным распределениями нет; теоретический закон отвергается и до лжен

быть заменен другим, подлежащим аналогичной проверке;

87

-при P 0,1 считается, что теоретическое распределение согласуется с выборочным, то есть подобрано верно;

-при 0,01< P< 0,1 считается, что согласие между теоретическим и выборочным распределениями не обеспечивается скорее всего вследствие недостаточного объема выборки; рекомендуется увеличить объем выборки

иповторить проверку в надежде на смещение значения P в другой интервал.

4. Если при 0,01< P< 0,1 увеличение объема выборки невозможно или не дает ожидаемого эффекта, с несколько большим риском принимается, что границей областей согласия и несогласия теоретического и выб орочного законов является P= 0,05.

3.7.2. Критерий согласия Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова наиболее удобен в том случае когда по случайной выборке восстановлена статистическая функция распределения F*(x). В качестве меры расхождения здесь рассматривается максимум абсолютной величины разности теоретической и выборочной (статистич еской) ФРВ:

р max F x F x ,

x

где F(x) - теоретическая ФРВ.

Критерием согласия является вероятность того, что случайная величинаn при данном объеме выборки n и правильном выборе теоретиче-

ского закона могла бы принять значение, не меньшее p n :

При n 50 вероятности (3.30) рассчитываются в соответствии с законом распределения Колмогорова. Наиболее важные для практики их знач е- ния представлены в табл. 10.

Таблица 10

Распределение Колмогорова

88

Если теоретический закон распределения подобран, порядок применения критерия Колмогорова аналогичен рассмотренному выше для кр итерия Пирсона.

Однако чаще всего критерий Колмогорова применяют непосредственно для подбора теоретического закона распределения, задавшись некоторым критическим значением P=

(уровнем значимости), определяющим границу области согласия теоретического и выборочного законов (допустимой области). В этом случае для выбранного значения по табл. 10 находят соответствующее значение и на основе графика F*(x) строят допустимую область (рис. 33). Ограничивающие ее кривые

определяются следующими соотношениями:

Любой теоретический закон распределения, график ФРВ которого не выходит за пределы области между кривыми F1(x) и F2(x), то есть при любом значении x удовлетворяющий неравенству F2 x F x F1 x , считается согласующимся с результатами эксперимента. Обычно используют значения 0,1 и соответственно 1,22.

89