Лагранж функциясының (17) -есеп үшін жазылған түрі

(18)

Осы (17), (18) формулаларынан

Байқайтынымыз: кезінде төменгі мән нүктесінде болады, егер , онда , ал барлық деп таңдасақ .

Сонымен, (18) есебіне түйіндес есеп келесі түрде жазылады:

. (19)

Алынған (19) түйіндес есебі бастапқы (17) есебімен сай келетіндігін көреміз.

Қосымша айнымалылар енгізуарқылы (17) есебін

. (20)

түрінде жазамыз.

Сызықты программалаудың негізгі есебі:

(21)

мұндағы -берілген векторлар,-берілгенматрицалар (реттері тиісінше ,индекстер жиыны.

Лагранж функциясы 21 есеп үшін

түрінде жазылады.

Сонда, (21) есепке түйіндес есеп:

(22)

Қосымша айнымалылар енгізу және түрлендірулері арқылы (21) есебін

(23)

түрінде жазамыз.

Сызықты программалаудың канондық есебі:

(24)

мұндағы - берілген векторлар, А - берілген ретті матрица, . Осы (24) есебі үшін Лагранж функциясының жазылуы:

Ал

Ендеше (24) есебіне түйіндес есеп:

(25)

Осы (25) есебіне түйіндес есептің (24) - есеппен беттесетіндігін аңғару қиын емес. Ақырында, сызықты программалаудың негізгі есебі мен жалпы есебі қосымша айнымалылар енгізу арқылы сызықты программалаудың канондық есебіне келтірілетінін байқаймыз (қараңыз (20), (23) өрнектер).

61.Сызықты программалау есебін шешу. Симплекс әдісі

------------------------------------------------------------------------------------------

Сызықты программалаудың жалпы және негізгі есептері сызықты программалаудың канондық есебіне келтіріледі. Сондықтан, сызықты программалаудың канондық есептерін шешудің жалпы әдісін тапқан дүрыс. Мұндай әдіс - симплекс әдісі. Төменде канондық түрдегі ерекшеленбеген сызықты программалау есебін шешуге қолданылатын симплекс әдісі баяндалады.

ЕСЕПТІҢ ҚОЙЫЛУЫ. СИМПЛЕКC ӘДІСІ

Канондық түрдегі сызықты программалау есебін қарастырайық:

(1)

мұндағы - берілген векторлар, А- берілген ретті матрица. матрицасын

түрінде жазуға болады. Мұндағы векторы шарттар векторлары деп, ал - шектеулер векторлары деп аталады. Енді теңдеуі түрінде жазылады. Мына , жиындары аффиндік жиындар, яғни дөңес, онда (1) - есеп дөңес программалау есебі болып шығады.

Байқайтынымыз: егер , онда (1) - есептегі Лагранж функциясы әрқашан қайқы нүктеге ие болып, кез келген локәлдік минимум нүктесі сонымен қатар глобәлдік минимум нүктесіне айналып, тиімділіктің қажетті және жеткілікті шарты келесі түрде жазылады: .

Мәселен, делік. нүктесін және шамасын табу қажет.

Симплекс-әдіс. Тұңғыш рет (1) - есептің шешімі симплексінде қарастырылғандықтан сызықты программалаудың мұндай есептерін шешу әдісі симплекс әдіс деп аталды.

Одан кейін бұл әдіс (1) - есепте көрсетілген U жиынының жағдайы үшін жалпыланса да алғашкы атау сақталып қалды.

1 анықтама. Егер нүктесі

түрінде өрнектелмейтін болса, онда ол шеткі (немесе бұрыштық) нүкте деп аталады.

Осы анықтамадан шеткі нүкте U жиынындағы ешбір кесіндінің ішкі нүктесі болмайтындығын көреміз.

1 Лемма. Шеткі нүктенің оң координаттарының саны m - нен аспайды.

Дәлелі. Жалпылыққа нұқсан келтірмей, шеткі нүктенің алғашқы компоненттерін оң деп санаймыз, себебі қайта белгілеу арқылы мұндай шартты әрқашанда қамтамасыз ете аламыз.

Қарсы жориық: яғни шеткі нүктесінің оң координаты болсын . Шеткі нүктенің кординаттарына сай шарттар векторларынан реті матрицасын құрамыз. Біртекті сызықты тендеуін векторына қатысты қарастырайық Бұл теңдеу нөлден ерекше шешімдерге ие, Мынай n векторды анықтап, келесі екі векторды қарастырайық (мұндағы - жеткілікті өте аз сан). Байқайтынымыз: кезінде (мұндағы - жеткілікті аз сан). Шынында да, кез келген аз үшін. Дәл осылай . Шеткі нүкте . Бұл шеткі нүкте анықтамасына қайшы. Лемма дәлеледенді.

2 Лемма. Шеткі нүктенің оң координаттарына сай шарттар векторлары сызықты тәуелсіз.

Дәлелі. Мәселен шеткі нүкте делік. Сонда векторларының сызықты тәуелсіздігін көрсетейік. Қарсы жоримыз: болатын барлығы бірдей нөлге тең емес сандары табылады ( векторлары - сызықты тәуелді). тиістілігінен шығатыны: .

Бірінші тендікті -ге көбейтіп екінші тендіктен алып , (қосып), нәтижесінде алатынымыз

Белгілеу енгізейік:

. Онда барлық кезінде болатын саны табылады. Ендеше .нүктесі шеткі нүкте дегендіктен қайшылықка ұрындық. Лемма дәлелденді.

Осы 1,2 леммалардан шығатыны: а) U жиынының шеткі нүктелері санаулы, олардың саны қосындысынан аспайды, мұндағы - n элементтердегі k сандары бойынша қүрылған тіркестер. Шындығында да, шеткі нүктенің оң координаттарының саны

(1- лемма бойынша), ал шеткі нүктенің оң координатгарына сай сызықты төуелсіз векторлар саны - (2 - лемма бойынша). Енді k бойынша 1-ден m -ге дейін қосып шеткі нүктелердің ең көп ықтимал санын аламыз;

б) жиыны реті кез келген А матрицасы үшін шеткі нүктелері санаулы дөңес көпжақ болып табылады.

2-анықтама. Егер ұйғарымды векторлардың оң координаттарының саны А матрицасының рангынан кем болмаса (яғни , тендеуіндегі нөлден ерекше қосылғыштар А матрицасының рангынан кем болмаса), онда (1) -түрдегі есеп сызықты программалаудың канондық түрдегі ерекшеленбеген есебі деп аталады.

3-лемма. Айталық . Егер ерекшеленбеген есептегі ұйғарымды векторының дәл m оң координаты болса, онда u - U жиынындағы шеткі нүкте.

Дәлелі. Мәселен ұйғарымды векторы дәл m оң координатқа ие болсын делік. Сонда u - U жиынындағы шеткі нүкте екендігін көрсетейік.

Қарсы жориық: (нүктесі шеткі нүкте емес болатын) саны мен нүктелері табылсын дейік. Бұл өрнектен шығатыны:

Айталық: . Демек

.

Байкайтыныныз: кез келгенкезінде . Мәселен, векторының алғашқы m координаттарының ішінде терістері де бар болсын дейік. Онда ды 0-ден дейін ұлғайтып, векторының алғашқы m координаттарының бірі оң, ал қалғандары теріс болатын санын табамыз. Дәл осылай, егер онда ды 0 ден ке дейін азайтып, кайшылыққа ұрынамыз. Лемма дәлелденді.

Ескерту: егер онда сызықты программалаудың (1) есебі ерекшеленбеген деп кесіп айтуға болмайды.

1-Мысал. Мәселен

. Бұл жағдайдағы матрица

U жиынының шеткі нүктелері . Мұндағы ерекшеленбеген шеткі нүктелер, - ерекшеленген шеткі нүкте. ұйғарымды векторының оң координаттарының саны -дан кем, ендеше берілген (1)-(2) сызықты программалау есебі ерекшеленбеген болмайды. Шеткі нүкте саны 3 -ке тең, ол қосындысынан аспайды, шеткі нүктелерінің оң координаттарына сай векторлар сызықты тәуелсіз.