Жалпы жағдайда функционал өсімшесі

Осыдан шығатыны

. (10)

Егер болса, онда үшін болуы қажет, өйткені бұл жағдайдағы таңбасы жеткілікті аз γ > 0 кезіндегі таңбасымен сәйкеседі. Функция келесі түрде тандалады:

(11)

мұндағы . Сонымен функциясы және кесінділерінде сызықты, демек оның туындысы

(12)

инені еске салады, сондықтан көбіне - "шанышпа" вариациялар деп аталады. функциялары (11), (12) I формулаларынан анықталады, ендеше

Бірінші вариацияны (10) формуласына сай есептейік:

мұндагы .

функциясы Эйлер теңдеуінің шешімі, ендеше (3)- формула дұрыс. Сол (3) тендігінен

, (14)

(15)

(15)-тен (14) өрнегін алып тастасақ:

Енді (13)-тегі өрнектің жазылуы:

осыдан мынаны ескерсек:

егер егер онда

(16)

Бекітілген үшін белгілеуін енгізсек, кез келген кезінде (16) өрнек

түрінде жазылады. Теорема дәлелденді.

64. Әлді минимумның қажетті шарттары. Лагранж шарты, якоби шарты, вейерштрасс шарты

ЛЕЖАНДР ШАРТЫ. ЯКОБИ ШАРТЫ. n ФУНКЦИЯЛАРДАН ТӘУЕЛДІ ФУНКЦИОНАЛДАР. ЖОҒАРЫ РЕТТІ ТУЫНДЫЛАРҒА ТӘУЕЛДІ ФУНКЦИОНАЛДАР.

Бұл дәрісте Эйлер тендеуі шешімі бойында функционалдың екінші вариациясының теріс еместігінің қажетті шарттары (Лежандр шарты, Якоби шарты) қарастырылады. Бірнеше функциялардан тәуелді функционалдар мен жоғарғы ретті туындылардан тәуелді функционалдардың әлсіз локәлдік минимумдарының қажетті шарттары алынған.

Лежандр шарты. Жай есепті қарастырамыз. Жоғарыда U -дағы локәлдік минимумының келесі қажетті шарттарын дәлелдегенбіз 1) ; 2).Осы кезге дейін жағдайын карастырдық.Әлсіз локәлдік минимумның күшейтілген қажетті шарттарын алу үшін -ден басқа және екінші вариация теріс болмайтын жағдаларды қарастырамыз.

Мәселен функциясы шекаралық шарттарын қанағаттандыратын Эйлер тендеуінің шешімі делік.

белгілеулерін енгізіп, екінші вариациясын (қараңыз (9))

(1)

түрінде жазамыз.

1-теорема. функциясы қарапайым есептегі әлсіз локәлдік минимумге жеткізуі үшін Эйлер тендеуінің шешімі бойында

(2)

теңсіздігі (Лежандр шарты) орындалуы қажет.

Дәлелі. Эйлер тендеуінің шешімі бойында теңсіздігі орындалсын делік. (2) теңсіздігінің дұрыстығын көрсетейік. Қарсы жоримыз, яғни нүктесінде .

Мәселен функция Ал

функциясын (мұндағы) және

функциясын жазайық функциясы функциясының үш қырын болатындай етіп тегістейді. Туынды

функциясының мәні мәніне қарағанда жеткілікті аз, сонымен қатарсалыстырғанда туындысы да жеткілікті аз, ендеше (1)- өрнек таңбасы мына шама таңбасымен анықталады:

Бұл шартына қайшы. Теорема дәлелденді.

Якоби шарты. Эйлер тендеуінің шешімі бойында екінші вариация функциясына тәуелді функционал, яғни

(3)

мұндағы .

Жай есеп (3) үшін Эйлер тендеуі:

Осыдан, ескерсек:

(4)

Мәселен Лежандрдың күшейтілген шарты орындалсын делік. Онда (4) – тендеу

(5)

түрінде жазылады, мұндағы . Мәселен -(5) - дифференциалдық теңдеудің шешімі болсын.

Анықтама. - функциясының -ден ерекше нөлдері нүктесімен түйіндес нүктелер деп аталады.

2-теорема. функциясы қарапайым есептегі әлсіз локәлдік минимумге жеткізуі үшін аралығында нүктесімен түйіндес нүктелер болмауы қажет (Якоби шарты).

Дәлелі. Мәселен орындалатын барлық үшін делік. екенін көрсетейік. Қарсы жориық: шартын канағаттандыратын нүктесі табылсын. Байқаймыз: , кері жағдайда (5)-тендеу шешімі ие болады. Мәселен функция

және болғандықтан

шартына орай: . Онда функционал былай жазылады

(6)

ІШынында да

Берілген өрнекті бойынша -ден -ға дейін ( шартын ескере отырып) интегралдасақ (6) аламыз.

Енді жай есепті мына функция үшін қарасгырамыз:

мұндағы - жеткілікті аз сан. Туынды