58. Лагранж функциясы. Қайқы нүкте. Негізгі теорема

------------------------------------------------------------------------------------------

Сызықты емес программалаудың келесі есебін қарастырайық

, (1)

(2)

мұндағы -де берілген дөңес жиын, жиынында анықталған, берілген функциялар. Дербес жағдайдадөңесжиынында анықталған дөңес функциялар, алберілген сандар. Бұл

жағдайда (1), (2) есебі дөңес программалау есебіне жатады. Әуелі Лагранж функциясының (1), (2) есебі үшін жазылатын дербес түрін қарастырайық.

Лагранж функциясы. Қайқы нүкте.

1-анықтама. L(3)

функциясын (1), (2) есебінің Лагранж функциясы деп атайды.

Егер

LLL,. (4)

шарты орындалса, онда , яғнижұбы (3) -Лагранж функциясыныңқайқы нүктесі деп аталады. нүктесіндеLфункциясыжиынында минимумға жететіндігінбайқаймыз. Ал нүктесіндежиынындағыLфункциясының максимумын аламыз. Лагранж функциясының анықталу облысы жиыны болып табылады.

Негізгі лемма. жұбы (3) - Лагранж функциясының қайқы нүктесі болуы үшін

L L,(5)

(6)

шарттары орындалуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелі. Қажеттілігі. - жұбы қайқы нүкте делік. Жоғарыдағы (5), (6) шарттары орындалатындығын көрсетейік.жұбы Лагранж функциясының қайқы нүктесі болғандықтан (4) теңсіздігі орындалады. Онда бірінші теңсіздіктен (5) шарт тікелей шығады. Енді (6) теңдіктің ақиқаттығын дәлелдесек болғаны. (4)-тегі сол жақтағы теңсіздіктүрінде жазылады. Демек

(7)

теңсіздігі орындалады. Әуелі көрсететініміз: . Мынаған яғни

(8) векторы жиынында жататындығына көз жеткізу қиын емес.

(8)-дегі мәнін (7) теңсіздігіне қойсақ:. Осыдан шығатыны(өйткені ол барлықүшін ақиқат). Дәл осылайша

векторы да жиынында жатады. Сонда (7) теңсіздігінен алатынынмыз

. Демек .;өрнектерінен шығатыны.векторын келесі түрде таңдаймыз.

Бұл жағдайда (7) өрнектің жазылуы . Мына мәндерболғандықтан, жоғарыда дәлелдегеніміз бойынша, демектеңдігі жүзеге асады.

теңдігінен тікелей шығатыны . Қажеттілік дәлелденді.

Жеткіліктілігі. Қандай да бір жұбы үшін (5), (6) шарттары орындалсын делік. Сонда(3) - Лагранж функциясының қайқы нүктесі болатындығын көрсетейік. Кез келгенүшінекендігіне көз жеткізу қиын емес. Шынында да, шартынан барлықүшін. Егер, онда.жағдайындасебебі, демек. Ендеше мына қосынды

.

Өйткені: . Осыдан шығатыны

Екінші теңсіздік LLтүрінде жазылуы мүмкін. Осы теңсіздік (5)-пен қосылыпLLL,шартын білдіреді. Бұлжұбы (3) – Лагранж функциясының қайқы нүктесі деген сөз. Лемма дәлелденді.

Негізгі теорема. Егер жұбы (3) - Лагранж функциясының қайқы күктесі болса, ондавекторы (1), (2) есебінің шешімі болады. Яғни

.

Дәлелі. жұбы үшін (5), (6) шарттарының орындалатыны негізгі леммадан көрініп. Ендеше. Енді (5) теңсіздік былай жазылады:

. (9)

болғандықтан (9) теңсіздік дербес жағдайда барлық орындалады, яғни

. (10)

Енді 2-шарттан аңғаратынымыз: егер ондажәне: демек кез келгенүшін. Ескеретініміз, мұндағы. Ендеше (10)-нан шығатыны. Бұлнүктесіндефункциясы U жиынындағы глобәлдік немесе абсолют минимумға жететіндігің білдіреді. Теорема дәлелденді.

Ескертпелер:

1. Негізгі лемма мен негізгі теорема (1), (2) сызықсыз программалау есебі үшін дәлелденген еді, дербес жағдайда олар дөңес программалау есебі үшін де орындалады

2. (1),(2) есебінің шешімдері мен (3) түріндегі Лагранж функциясының қайқы нүктесі арасындағы байланыс тағайындалған. Жалпы жағдайда (1), (2) есебі үшін Лагранж функциясы

L(11)

формуласынан анықталады. Егер болса, онда Лагранж функциясы (11) мынаLLтүрде жазылады, мұндағы,, алLформуласынан анықталады. Бұл жағдайда негізгі лемма мен негізгі теорема (11) түрдегі Лагранж функциясы үшін де ақиқат.

3. тиімділіктің келесі екі есебін қарастырайық: мұндағыНегізгі теореманың дәлелдеуінен келесішарттары орындалатынын көреміз.

4. Лагранж функциясының қайқы нүктесі бар болуы үшін қажет. Дегенмен, бұл шарт есебі үшін Лагранж функциясының қайқы нүктесі табылатындығына кепілдік бермейді. Сондықтан U - да функциясына қосымша талаптар қойылуы керек. Бұл Лагранж көбейткіштері әдісінің нәтижелілігін төмендетеді. Байқайтынымыз - Лагранж көбейткіштері әдісі дегеніміз қосымша артық шарттар қойып тиімділік есебін шешудің жасанды әдісі.