Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
GOS / Тиімділеу әдістері.doc
Скачиваний:
78
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
5.48 Mб
Скачать

Тиімділеу әдістері

57. Тегіс функциялардың дөңестігінің критерийлері

------------------------------------------------------------------------------------------

ДӨҢЕС ФУНКЦИЯЛАР

Дөңес программалау есебі жалпы жағдайда былай жазылады:

, , мұндағы-дегі дөңес жиын, ал - дөңес жиынында анықталған дөңес функция.

1 анықтама. - -дегі дөңес жиынында анықталған функция болып, кез келген нүктелері үшін барлық кезінде

(1)

теңсіздігі орындалса, онда функциясы жиынындағы дөңес функция деп аталады.

Егер (1) өрнектегі теңдік тек және кезінде ғана мүмкін болса, онда функциясы дөңес жиынындағы қатаң дөңес функция болғаны. Егер дөңес жиынында функциясы дөңес (қатаң дөңес) болса, онда – функциясы ойыс (қатаң ойыс) болғаны.

2 анықтама. дөңес жиынында анықталған функция болсын.

Егер кез келеген нүктелері үшін барлық кезінде

(2)

теңсіздігі орындалатын саны табылса, онда функциясыжиынындаәлді дөңес функция делінеді.

1 мысал. функциясы - дегіжиынында анықталған болса, онда - дағы дөңес функция. Шынында да, еркін нүктелер. Ал , ендеше нүктесі жиынында жатады: Себебі - дөңес жиын. Онда :

Бұл жағдайда (1) өрнек теңдік таңбасына ие. <-, •> - скалярлық көбейтінді белгісі.

2 мысал. функциясы дөңес жиынында анықталсын. Осы функцияның жиынындағы әлді дөңес функция екендігін көрсетейік. Шынында да, кез келген және барлық үшін .

(3)

Скалярлық көбейтінді . Осыдан алатынымыз: . Бұл теңдікті (3) өрнегінің оң жағына қойсақ:

Сонымен, (2) өрнек теңдік түрінде орындалып, әрі берілген функция әлді дөңес функция.

3 мысал. Дөңес жиынында анықталған функциясы қатаң дөңес. Шынында да,

әрі теңдік тек және жағдайында ғана орындалады.

Жалпы жағдайда дөңес жиынындағы функциясының дөңестігін немесе әлді дөңестігін 1, 2 анықтамалар арқылы тексеру өте қиын. Мұндай жағдайларда келесі теоремаларға жүгінеміз.

Тегіс функцияның дөңестігінің критерийлері

1 теорема. Дөңес жиынында функциясы дөңес болуының қажетті де жеткілікті шарты:

(4)

Дәлелі. Кажеттілігі. дөңес дейік. Сонда (1) теңсіздігінен алатынымыз:

Осыдан, ақырлы өсімшелер формуласы негізінде жазатынымыз:

Бұл теңсіздіктің екі жағын да санға бөліп, кезде шекке көшіп, екендігін ескерсек (4) өрнегі шығады.

Қажеттілік дәлелденді.

Жеткіліктілігі . Дөңес жиынындағы функциясы үшін (4) өрнегі орындалсын. Онда -да функциясының дөңестігін көрсетейік. дөңес болғандықтан: .

Ендеше (4) теңсіздігінен: .Бірінші теңсіздікті - ға, ал екінші теңсіздікті санына көбейтіп, оларды қосамыз. Нәтижесінде алатынымыз: .Бұдан функциясының жиынында дөңестігі шығады. Теорема дәлелденді.

2 теорема. Дөңес жиынында функциясы дөңес болуы

үшін мына теңсіздіктің орындалуы қажетті және жеткілікті:

(5)

Дәлелі. Қажеттілігі. Мәселен, дөңес болсын дейік. Онда (5) теңсіздігінін орындалатынын көрсетейік. Кез келген үшін (4) теңдік орындалатындықтан, дербес жағдайда .Осы теңсіздікті (4) өрнекке қоссақ, нәтижесінде (5) өрнек алынады. Қажеттілік дәлелденді.

Жеткіліктілігі. жиынындағы функциясы, үшін (5) өрнек орындалсын. - да функциясының дөңес екендігін көрсетейік.

Дәлелдеу үшін мына айырманы көрсету жеткілікті

Мұндағы

болғандықтан, келесі теңсіздіктің орындалатыны сөзсіз:

Бірінші теңдік ақырлы өсімшелер формуласынан алынса, екіншісі орта мән туралы теоремадан шығады Ендеше

Мәселен,

Онда , ал . Енді алдыңғы теңдікті мына түрде жазамыз:

болғандықтан (5) өрнекке сай алатынымыз:

Теорема дәлелденді.

3 теорема. функциясы дөңес жиынында дөңес

болуы үшін төмендегі теңсіздіктің орындалуы қажетті және жеткілікті:

(6)

Дәлелі. Қажеттілігі. функциясы -да дөңес дейік. Сонда (6) өрнектің орынадалатынын көрсетеміз. Егер нүкте , онда кез келген

және барлық үшін болатын саны табылады. Демек 2-теореманың барлық шарттары орындалып, келесі теңсіздік алынады: . Осыдан екендігін ескеріп және кезінде шекке көшсек, (6) өрнек шығады. Егер нүктесі шекаралық нүкте болса, ондакезінде тізбегі табылады. Бұдан әрі дәлелдегеніміз бойынша .

болғандықтан екендігін ескеріп, шекке көшу нәтижесінде (6) өрнек алынады. Қажеттілік дәлелденді.

Жеткіліктілігі. функциясы мен дөңес жиыны үшін (6) өрнек орындалсын. - да дөңестігін көрсетейік.

Мына

теңдік ақиқат болғандықтан, белгілеуін енгізіп, мыналарды ескеріп алатынымыз:

Осыдан 2 теоремаға сай функциясының жиынындағы дөңестігі шығады. Теорема дәлелденді.

Ескерту. -симметриялы матрица:

скалярлық көбейтінді.

жиынында әлді дөңес функциясы үшін 1-3 теоремалар төмендегіше тұжырымдалып, дәлелдеу жолдары жоғарыда баяндағанымызша болады.

4 теорема. функциясы дөңес жиынында әлді дөңес болуы үшін

(7)

теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.

5 теорема. функциясы дөңес жиынында әлді дөңес болуы үшін

(8)

теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.

6 теорема. функциясы дөңес жиынында әлді дөңес болуы үшін

(9)

теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.

Осы алынған (4) - (9) формулалары дөңес жиынында анықталған тегіс функцияларының дөңестігін және әлді дөңестігін тексеру үшін қолданылады.

3 анықтама. Егер

(10)

болса, онда функцияларының градиенті жиынында Липщиц шартын қанағаттандырады дейміз. Мұндай функциялар кеңістігінің белгіленуі - .

Біртіндеп жуықтау әдістерінің жинақтылығын зертгеуде келесі лемманың пайдасы тиеді.

Лемма. Егер және дөңес жиын болса, онда

(11)

теңсіздігі ақиқат.

Дәлелі.

теңсіздігінен шығатыны:

Осыдан (10) теңсіздікті ескере отырын t бойынша интегралдаған соң, (11) формуланы аламыз. Лемма дәлелденді.

Дөңес функциялардың қасиеттері .

1) Егер дөңес жиындағы дөңес функциялар болса, онда жиынында функциясы дөңес. Шынында да,

2) Егер дөңес жиынындағы дөңес функциялардың қандай да бір үйірі болса, онда функциясы жиынында дөңес. Шынында да, жоғарғы қыр анықтамасынан болатын саны және индексі табылады. Осыдан алатынымыз:

. Демек кезінде .

3) Мәселен - жиынында анықталған дөңес функция болсын. Онда

,

теңсіздігі ақиқат. (Математикалық индукция әдісімен дәлелдеңіздер).

4) Егер функциясы дөңес болса және кемімесе, ал функциясы дөңес жиынындағы дөңес функция және болса, онда функциясы -да дөңес болғаны. Шынында да,

.

функциясы кесіндісінде дөңес болғандықтан және