59. Кун-таккер теоремасы.

------------------------------------------------------------------------------------------

Қандай шарттар орындалғанда Лагранж функциясы қайқы нүктеге ие болатындығын тағайындайтын теоремалар Кун-Таккер теоремалары деп аталады (Кун мен Таккер – америкалық математиктер).

Кейде бастапқы есептің шешімі бар болып (яғни ,), ал осы есеп үшін Лагранж функциясының қайқы нүктесі жоқ болуы мүмкін.

Мысал. , ал.дейік. Әріжәнефункцияларыжиынындағы дөңес функциялар болсын.U жиыны жалғыз элементтен тұрғандықтан, яғни U ={l}, онда ={1}. Демек, Лагранж функциясыLберілген есеп үшін қайқы нүктеге ие болмайды. Шынында да алдыңғы лекциядағы (4) формуласынанLL. Осыдан алатынымыз , мұндағы. Жеткілікті азкезінде берілген теңсіздік орындалатынсаны табылмайды. Төмендегі жағдайларға тоқталайық.

1-жағдай. Дөңес программалаудың келесі есебін қарастырайық

(1)

(2)

мұндағы -жиынында анықталған дөңес функциялар.

1 анықтама. Егер болатыннүктесі табылса, ондашектеуіжиынындарегуляр делінеді. Егер барлық (2) шартындағы шарттарыжиынындарегуляр болса,онда U регуляр жиын деп аталады.

Мәселен

(3)

орындалатын нүктесі бар болсын. Осы (3) шартыСлейтер шарты деп аталады.

Мәселен нүктелерінде барлық шектеулер регуляр, яғни болсын. Онда нүктесінде барлықшектеулері регуляр. Шынында да,

1 теорема. Егер - дөңесжиынында анықталған функциялар,U жиыны регуляр және , онда әрбірнүктесі үшінжұбы Лагранж функциясының:Lқайқы нүктесін құратын Лагранж көбейткіштері табылуы қажетті. Теорема шартынан байқайтынымыз: дөңес программалау есебі (1), (2) үшін егерU жиыны регуляр болса (шарты орындалғанда) Лагранж функциясы қайқы нүктеге ие болады екен.

Ескерту: Жоғарыда келтірілген мысалда U жиыны регуляр емес, өйткені жалғыз нүктесінде шектеу. Байқайтынымыз: егер жиынрегуляр болса, онда Слейтер шарты бойынша .

Дөңес программалау есептері үшін, Лагранж функциясы қайқы нүктеге ие болатын, U жиынына қойылатын қосымша шарттар алынды. Ақырлы өлшемді кеңістікте тиімділік есебін Лагранж көбейткіштері әдісімен шешу үшін шартының сыртында Лагранж функциясының қайқы нүктесі табылуы қажеттігін еске сала кетейік. Тек осы жағдайда ғана негізгі теореманы қолданған орынды.

1 теореманың дәлелі кеңістігіндегі А мен В жиындарының ажырамалылығы туралы теорема негізінде жүргізіледі. А мен В жиындары келесі түрде анықталсын

(4)

(5)

мұндағы , себебі. Енді мыналарды көрсетейік:

а) А мен В жиындарының ортақ нүктесі жоқ. Шынында да , тиістілігінен шығатыны. Егер, ондатеңсіздігі орындалады, демек. Егер, онда қандай да бірнөмірі үшін. Ендешежәне тағы да. Сонымен.

б) А мен В - дөңес жиындар. Еркін екі нүктелері менсанын алайық.тиістілігіненболатыннүктесі табылатындығын көреміз. Дәл осылайша,екендігінен алатынымыз, мұндағы. Сонда, әрідадөңес болған соңмұндағы. Дәл осылайжиынындафункциялары дөңес болғандықтан. Соныменәрі. Осыданкезіндеекендігі шығады. Демек, А жиыны дөңес екен. В жиынының да дөңестігі осы жолмен дәлелденеді.

в) А мен В жиындары дөңес және болған соң, 2-теоремаға (6-дәріс) сай А мен В жиындарын , сонымен қатар олардың тұйықтамасын да ажырататынгипержазықтығы табылады (мұндағы нормәл вектор). Демек

(6)

шарты орындалады.

Егер , онда, демекжәнеекендігін байқаймыз.

Еңді (6) теңсіздігі

(7)

түрінде жазылады. Осыдан, дербес жағдайда кезіндегі сол жақтағы теңсіздіктен алатынымыз. Демек,Дәл осылайшавекторынтүрінде таңдап, сол жақтағы теңсіздіктен алатынымыз.Осыдан.

г) Кез келген нүктесін алайық.екендігін байқау қиын емес, себебі. Осы нүктені (7) теңсіздігінің оң және сол жақтарына қойсақ:. Осыдан алатынымыз, демек

д) . Жоғарыдағы в) бабындаекенін көрсеттік. Теорема шарты бойыншаU жиыны регуляр. Яғни Слейтер шарты (3) орындалады. Демек, болатыннүктесі табылады. Байқайтынымыз. Ендеше (7) теңсіздігінің оң жағынан алатынымыз.

Қарсы жориық: . Вектор, ондасандарының кемінде біреуі нөлден ерекше. Ендеше теңсіздіктен. Бұл мүмкін емес, себебі. Сонымен,саны нөлге тең емес, демек,. Жалпыдеп алуымызға болады.

е) нүкте болсын. Онда вектор(7) теңсіздігінің оң жағынан алатынымыз. Мына көбейтінді, онда.

Осы теңсіздіктен және , теңдігінен шығатыныжұбы Лагранж функциясының қайқы нүктесі, мұндағы. Теорема дәлелденді.

2-жағдай. Енді дөңес программалаудың келесі есебін қарастырайық:

(8)

(9)

мұндағы - жиынша, жиын, -дөңес

жиынында анықталған дөңес функция, берілген векторлар,берілген сандар. Осы (8), (9) есебі үшін Лагранж функциясын жазайық

L

(10)

Егер функция сызықты болса, онда (8)-(9) есебі сызықты программалаудың жалпы есебі деп аталады. Мәселенделік. Жоғарыдағы (8)-(9) есебі үшін жазылған Лагранж функциясы (10) дөңесU жиынына қосымша ешқандай шарт қойылмаса да қайқы нүктеге ие болады екен. Мұны дәлелдеу үшін келесі лемма қажет.

Лемма. Егер саны ақырлы векторлар және,

онда

(11)

жиыны тұйық конус болғаны.

Дәлелдеу. конус екендігін көрсетейік. Шынында да , егер және еркін сан болса, онда мұндағы . Осыдан шығатыны . Демек жиыны конус. Енді дөңес конус екендігін көрсетейік. Нақтысында, тиістілігінен шығатыны

мұндағы . Осыдан, барлық кезінде

алатынымыз . Демек, жиыны дөңес конус. дөңес тұйық конус екендігін көрсетейік. Математикалық индукция арқылы дәлелдейміз. мәні үшін алатынымыз жарты түзу. Яғни -тұйық жиын. жиыны тұйық делік . Енді жиынының тұйықтығын дәлелдейік. Мәселен, жиынының шекті нүктесі болсын. Демек тізбегі табылады, әрі . тізбегі түрінде өрнектеледі, мұндағы - сан тізбегі. жиыны тұйық болғандықтан, әрі , енді сан тізбегінің шектелгендігін дәлелдесек болғаны. Қарсы жориық . , ал тізбегі шектелген, себебі , онда кезінде . болғандықтан ( жағдайында) . Бұл мүмкін емес. Демек тізбігі шектелген. Яғни , мұндағы . Лемма дәлелденді.

Енді (8)-(9) есебі үшін жазылған Лагранж функциясының қайқы нүктесі бар болуы туралы теореманы дәлелдемес бұрын дөңестік анализі теориясында маңызды орын алатын Фаркаш теоремасын тұжырымдап, және оны дәлелдейік.

Фаркаш теоремасы. Егер төбесі нөлдегі конусы

(12)

теңсіздіктерімен анықталса, онда оған түйіндес конус мына түрде жазылады:

(13)

Дәлелі. К конусы (12) формуласымен анықталсын. болатынвекторларының жиыны (13) формуласынан анықталатындығын , яғни

(14)

жиыны жиынмен беттесетіндігін көрсетейік.болсын. Онда (14) - тегі жиыны

(15)

түрінде жазылады. Осы (15) пен (11) өрнектерінен көретініміз: векторларынан туындаған тұйық конус (лемманы қараңыз).

екенін көрсетейік. Шындығында да, егер яғни, онда (12) өрнегінің арқасында. Демек,векторыжиынында жатады. Осыдан шығатыны.

екенін көрсетейік. Қарсы жоримыз: , бірақ. жиыны тұйық дөңес конус және , ендеше 1-теоремаға сай (6-лекция)нүктесі жиынынан әлді ажырайды, яғни , мұндағыгипержазықтығына нормәл вектор. Осыдан алатынымыз

(16)

векторын төмендегіше таңдаймыз:

Осы векторы үшін , (27) теңсіздігітүрінде жазылады. Оныбөліп жәнеұмтылдырып, нәтижесінде алатынымызБұдан әрі

векторын аламыз. (16) - теңсіздіктен .Оныбөліп жәнеұмтылдырып алатынымыз.

Сонымен векторы үшін;. Онда (12)-ден шығатыны,–мұндағы жиынының тұйықталуы.

Вектор болғандықтантеңсіздігі орындалады Осыдан, дербес жағдайда,үшін. Дегенмен (16)-дакезінде алатынымыз. Қайшылыққа ұшырадық.

Демек, векторыжиынында жатады.тиістіліктерінен. Теорема дәлелденді.

Енді дөңес программалаудың (8)-(9) есебі үшін жазылған Лагранж функциясының қайқы нүктесі бар болатындығы туралы теореманы қарастырайық .

2 теорема. Егер дөңесжиынындағы дөңес функция,және (8) - (9) есебі үшінболса, онда әрбірнүктесі үшінжұбы (10) - Лагранж функциясыныңжиынындағы қайқы нүктесін құратын Лагранж көбейткіштерітабылуы қажет.

Дәлелі. Теореманың барлық шарттары орындалғанда жұбы (10) - Лагранж функциясының қайқы нүктесі болатындығын көрсетейік. Мәселен- еркін нүкте. Дөңесжиыны үшіннүктесінен шығатын ұйғарымды бағыттарды анықтайық.

Ескерту: Егер барлық кезіндеболатынсаны табылса, ондавекторынүктесінде ұйғарымды бағыт деп аталады.тиістілігінен (9) өрнекті ескере отырып алатынымыз

(17)

Егер индекстер жиынын енгізсек, онда (17) шарттың жазылуы:

(18)

Сонымен, (18) өрнегінен көретініміз нүктесіндегі ұйғарымды бағыттар жиыны конус екен:

(19)

мұндағы бірлік вектор. Кері тұжырым да дұрыс. Яғни, егер, онда- ұйғарымды бағыт.

дөңес жиынындағы дөңес функция жәнеболғандықтан 4-теоремаға сайнүктесіндетеңсіздігінің орындалуы қажет және жеткілікті. Осыданескеріп, алатынымыз. ДемекФаркаш теоремасы бойынша (19) конусына түйіндес конус(13) формуладан анықталады, сондықтан

(20)

теңдігі орындалатын сандары табылады. Мәселен,мәндері үшінболсын. Онда (19) өрнек

(21)

түрінде жазылады.

Ескерту: себебіөрнектен (10) көретініміз:

(22)

дөңес функция , ендеше 1-теоремаға сай (4-лекция) . Енді (18) теңдікті (21) өрнегін ескере отырып -

түрінде жазуға болады. . Осыдан . Осы теңсіздік пен теңдігінен жұбы (21) - Лагранж функциясының қайқы нүктесі екендігін көреміз. Теорема дәлелденді.

3-жағдай. Дөңес программалаудың неғүрлым жалпы есебін қарастырайық

(23)

(24)

мұндағы дөңес жиынында анықталған дөңес функциялар, - берілген векторлар, берілген сандар. Осы (34)-(35) есебі үшін Лагранж функциясы:

(25)

3 теорема. Егер дөңес жиынындағы анықталған дөңес функциялар; (34)-(35) есебі үшін және орындалатын нүктесі табылса, онда әрбір нүктесі үшін жұбы жиынында (36)-Лагранж функциясының қайқы нүктесін құратын Лагранж көбейткіштері табылуы қажетті.

Теореманың дәлелдеуі 1-6 теоремаларға қарағанда (1.4) дөңес жиындардың ажырамалылығы туралы терең мағыналы теоремаларды қолдануды қажет етеді. Сондықтан, мұндай теоремалармен жете танысу үшін Р. Рокафеллердің кітабын ұсынамыз (Выпуклый анализ.-М.: Мир, 1973.).

Ескерте кететін мәселелер:

1. Жоғарыдағы 1-3 теоремалар дөңес программалау есебі үшін қайқы нүкте болуының жеткілікті шарттарын береді.

1-мысал. Мәселен , ал делік. Осы мысалдағы функциялары дөңес жиынындағы дөңес функциялар. демек . нүктесі мен шамасы есебінің шешімі болып табылады. Лагранж функциясы .

, демек жұбы Лагранж функциясының қайқы нүктесі. Берілген мысал үшін 1-теоремадағы Слейтер шарты да, 3-теорема шарты да орындалмағандығын байқаймыз.

2. Жалпы жағдайда нүктесі үшін Лагранж көбейткіштері бір мәнді анықталмайды. Келтірілген мысал үшін жұбы кез келген кезінде Лагранж функциясының қайқы нүктесі болады.

3. 1-3 теоремалардың шарттарының орындалуы - Лагранж функциясының қайқы нүктесінің болатындығының кепілі. Айта кететін мәселе - сызықсыз программалау үшін де, дөңес программалау үшін де Лагранж функциясының қайқы нүктесін табу экстремәлді есептер теориясындағы әзірше аз зерттелген мәселе.

Дөңес программалау есебін шығару алгоритмі. Қолданбалы зеттеулерде (23)-(24) түрінде жазылған дөңес программалау есептері жиі ұшырасады. Жоғарыдағы теория негізінде дөңес программалау есебін шығарудың тәртібін қысқаша баяндайық.

1. (23)-(24) есебі үшін екендігіне көз жеткізу керек. Ол үшін 1-3 теоремаларды (Вейерштрасс теоремаларын) қолданамыз.

2. Дөңес программалау есебінің түріне байланысты Лагранж функциясының қайқы нүктесінің болатындығына кепілдік беретін шарттардың орындалуын тексереміз (Жоғарыдағы 1-3 теоремалар шарттары). Мысалы, егер есеп (1)-(2 түрінде болса, онда регуляр екендігін , егер есеп (8)-(9) түрінде болса, ондаекендігін, ал (23)-(24) есебі үшінорындалатыннүктесі табылатындығын көрсетеміз.

3. Анықталу аймағы Лагранжқұрамыз, мұндағы.

4. (26) шартынан (негізгі лемма) Лагранж функциясының қайқы нүктесін табамыз. а) Бірінші шарттан көретінімізфункциясыжиынындағы минимумынанүктесінде жетеді.функциялары дөңесжиынындағы дөңес функциялар, ендеше-да дөңес. Егер , онда тиімділік баламасы бойынша және глобәлдік минимум туралы теоремадан (26)-дағы бірінші шартты мынаған алмастырамыз: ; мұндағы. Енді (26)(27) түрінде жазылады. б) Егер сыртында , онда тиімділік баламасына сай (27) шартын келесі түрде өрнектейміз:(28) Соңғы (28) шартыалгебралық теңдеулер жүйесін білдіреді,белгісіздер саны:. Байқайтынымыз: егер Лагранж функциясының қайқы нүктесі бар болса, онда (28) - теңдеулер жүйесінің шешімі бар болғаны, әріорындалу керек. (28)-шартжағдайында қолданылады, дегенмен бұл жағдайдаекендігіне көз жеткізу керек. Мәселенжұбы анықталады дейік. Онданүктесі меншамасы тиімділік есебінің шешімі ( 8-дәрістегі негізгі лемманы қараңыз).