Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
GOS / Matematikaly_1179_fizika_te_1187_deuleri.docx
Скачиваний:
126
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
161.15 Кб
Скачать

Матфиз

48. Екінші ретті дербес туындылы дифф.т классификациясы ж/е канондық түрі.

Екі аргументті 2ретті дербес туындылы теңдеу түрінде өрнектеледі.Оны жалпы түрде екі аргументфункция үшін мұндағы белгілі жатық ф-я. Теңдеуді квалификациялау: 1)

2)(1) теңдеудегі )б/са яғни ол теңдеу мына

түрінде б/ды,онда (2) теңдеуге сәйкес жоғарғы туындылы мүшелерінен квадраттық форманы түземіз, мұндағы (теңдеу анықталған D аймақтағы тұрақтандырылған кез-келген нүкте ол (3) квадраттық форманы ерекшеліксіз

түріндегі түрлендіру нәтижесінде оны квадраттық форманың канондық түріне келтіреді.мұндағы. Егер барлық болып бір таңбалы б/са онда (2) теңдеу элиптикалық ,ал болып ең болмағанда біреуі қалғандарына кері таңбалы б/са, онда (2)-гиперболалық, ал ендіішінде ең болмағанда біреуіонда ол параболалық б/ды.

Канондық теңдеу. Жоғарғы ретті туындылар б/ша сызықты екі айнымалы дифф теңдеуді қарастырайық :

канондық теңдеуге келтіру үшін тәуелсіз айнымалыларын жаңаайнымалылармен алмастырамыз.олардың арасындағы бір мәнді байланыс мына:

мына шарттарды қанағаттандырсын .кері түрлендіруді алуға болады.(1) теңдеуге туындыларды байланыстыратын белгілі формуланы

пайдаланып мына формуланы аламыз

(2) мұндағы коэфф.

=++;;(3)

теңдеу коэф мен алғашқы (1) теңдеу коэф арасында мына тепе-теңдік орындалады

2-2--2.гиперболалық теңдеудің 1ші канондық түрі

.егерде сызықты алмастыруын жасап

2-ші канондық түрі деп аталады.параболалық теңдеудің канондық түрі .эллиптикалық типтің канондық формасы келесі түрде жазылады:.

49. Біртекті толқын теңдеуі үшін Коши есебі. Дюамель қағидасы.

аймақта (1) теңдеудің бастапқы шарттарын

қанағаттандыратын регулярлық шешімін табу к/к. (1) теңдеудің сипаттаушы теңдеуі . Оның сипаттаушылары x-at=C1,x+at=C2. Егер ξ=x-at,𝜂=x+at алмастыруын жасасақ, онда (1) теңдеудің 2ші канондық формасы теңдеуіе аламыз. теңдеу (4) жалпы шешімітүрінде жазылады.пенфункцияларын бастапқы шарттарды пайдаланып табамыз сонда,табылғанпенфункциялары (5) теңдікке қойсақ онда

Даламбер теңдеуін аламыз .

Дюамель қағидасы. Біртекті емес теңдеулерді біртекті бастарқы шарттармен шешуге қолданылады.Біртекті емес теңдеумен берілген шек тербелісті теңдеуді

.бастапқы шарттармен шешу к/к болған Коши есебін шешейік.

Теорема. Егер функция

, t==f(x,) t>(3) есептің шешімі б/са онда(4) функция (1)-(2) есеп шешімі б/ды.мұндағы (3) есепті (1)-(2) есепті жолай есебі д.а. Функция (4)-тіайн б/ша дифф-п оғанt==f(x,) шарттарды пайдаланып.ж/еатормен есептеп яғнианықтап оларды (1)-(2) есепке қойып нәтижеде (4) ф-я оның шешімі б/ды.

50. Толқын теңдеуге қойылған аралас шекаралық есепті Фурье әдісімен шешу.

Біртекті гиперболалық теңдеу үшін (1) болатын бастапқы шарттар)=шекаралық шарт)s=0(3) орындалатын регулярлық шешімінтабу к/к.есептің шешімін Фурье әідісі б/шаT(t)X(x) түрде іздейміз. (1) теңдеуге қойсақ сондааламыз.осыдан мына

=0,теңдеулер ж/е шекаралық шарттан(s=0 теңдігі шығады. меншікті фнкциялар, λ меншікті мәндер.ал жалпы шешімін

түрде аламыз.

Сол сияқты біртекті емес теңдеу үшін шекаралық есепті қарастырайық., бастапқы шартар(5) шекаралық шартты (3) шартты қанағаттандыратын регулярлық шешімін қарастырамыз. Шешімін келесі қатар түрде іздейміз, белгісіз ф-я.есептің шешімі

формуласымен анықталады. Мұны (6)ға апарып қойсақ шекаралық есептің шешімін аламыз.

51. Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеу үшін Коши есебі.

Жылуөткізгіштік теңдеудің (1) Rn аймақта, бастапқы шартты u(x,0)=f(x) (2) қанағаттандыратын, регулярлық шешімін табу к/к. Есепті біз Дюамель әдісімен шығарамыз. Ол үшін есепті екі есепке бөлеміз:

А есебі

B есебі

А есебін ,

арқылы жазылады.

B есебін Дюамель принципін қолдану арқылы шығарамыз.ол үшін көмекші C есебін құрастырамыз:t==F(x,). Дюамель принципі б/ша В есебінің шешімін келесі формула арқылы табамыз :. Сондықтан Коши есебінің шешімі А мен В есептерінің шешімдерінің қосындысы

формуласы арқылы анықталады.

52. Жылуөткізгіштік теңдеу үшін экстремум қағидасы және оның қолданылулары

Параболалық типтегі жылу өткізгіш

(1)

теңдеуін қарастырайық, мұндағы u(x,t) деп t мезеттегі x нүктедегі жылу(температура). ( k-жылу өткізгіш коэффициенті, с- ішкі сыйымдылық , p-тығыздық).

а) Аралас есеп: (1) теңдеуден шекарасы , бет D аймақта 0<t<T уақытта

(2)

Шекаралық және

u(x,0)=(3)

бастапқы шарттарды қанағаттандыратын u(x,t) температураны анықтау керек.

б) Коши есебі. Rx(0<t<T)- жолақта (1)теңдеудің (3) басиапқы шартты -шексіз аймақта (сан осі, шексіз жазықтық немесе үшөлшемді шексіз кеңістік) қанағаттандыратын шенелген шешімін анықтау керек.

Аралас есептегі шешімнің жалғыздығы мен берілген шамаларға тәуелділік мәселелерін тексеру және Коши есебінің шешімінің жалғыздығын дәлелдеу максимум қағидасына тікелей байланысты.

Мына D=(0,l),

Аймақта максимум қағидасын келтірейік.

Біртекті жылу өткізгіштік теңдеудің регулярлық шешімі тұйық аймақтың барлық нүктелерінде үзіліссіз бойлып өзінің ең үлкен және ең кіші мәндеріне тек аймақтың шекарасы Г-да те, болмаса t=0 моментке ие болады.

Дәлелдеуі.

Физикалық мағынасы түсінікті: жылу жоғарғы температура жақтан төменгі температура жаққа қарай ауысады, сондықтан дененің максимум жылуы болса 0<t<T кездегі дене шекарасының жылуы делік, ондаmax()шамаданаймақта, 0<t<T кездегі жылу одан жылуы жоғары болған жерден (нүктеден) ауысты.

Теореманы кері жору тәсілімен D=(0,l) аймақта дәлелдейік: есептің u(x,t) шешімі үзіліссіз болғандықтан шенелген аймақта ол функцияның max(min) мәндері бар. Олболсын. Ол аймақтағы ішкі ()нүктеде ие деп келісейік, яғни M=, мұнда 0<, 0<. Ал Г шекарадағы u(x,t) функцияның max мәні m , яғниболсын, әрине, m<M.

Максимумның

Теорема. (максимум қағидасы). Функция U(x,t)теңдеу (1.9)шешімі болсын. ЕгердеF(x,t)болса, ондаU(x,t)<0 немесе функция U(x,t) өзінің оң максимум мәнін цилиндрдің табанынданемесе бүйір бетіжетеді, яғни

U(x,t)(1.10)

Максимум қағидасының қолдаынылуы

1-теорема.

(4,7)

Аралас есептің регулярлық және тұйық аймақта үзіліссіз шешімі жалғыз.

(максимум қағидасы бойынша ол нолге тең)

Дәлеледеуі. Бұл есептің екі шешімдері бар деп жориық. Олай болса,айырма функциябіртекті жылу өткізгіш теңдеуді жәнешарттарды қанағаттандырады. Бұл есептің шешімі, максимум қағидасы бойынша, тек нөлге тең, яғни

2-теорема. аралас (4.7) есептің тұйық аймақта үзіліссіз шешімі тиянақты.

3-теорема. мына Коши есебінің

(4.8)

Регуляр, шенелген шешімі жалғыз.