МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ

11. Жинақты сандық тізбектердің қасиеттері

Сандық тізбек деп натурал сандар жиынында анықталған f:N →R функциясын айтады. f функциясының n санына сәйкес мәнін x_n арқылы белгілеп, оны тізбектің n – ші мүшесі немесе тізбектің жалпы мүшесі деп айтады, яғни f(n) =: x_n . Тізбектің өзін

x₁, x₂, …; x₁, x₂, …; {x_n}, {x_n,{x_n және тағы басқа түрлерде жазады.

Егер кез – келген оң санына сәйкес N нөмірі табылып, барлық nүшін |x_n – a| орындалса, ондаа санын {x_n} тізбегінің шегі деп атайды да, қысқаша былай = a немесе x, n →немесе x_n → a түрлерінде жазады. Кейде осындай жағдайда {x_n} тізбегі а санына жинақталады немесе {x_n} тізбегі а санына ұмтылады деп те айтады. Нақты мәнді шегі бар тізбекті жинақты, ал нақты мәнді шегі жоқ тізбекті жинақсыз н/е жинақты емес тізбек деп атайды.

Көп жағдайда жоғарыдағы шек анықтамасына эквивалентті мынандай анықтаманы пайдаланған ыңғайлы.

Егер а нүктеснің кез – келген U(a) маңайына сәйкес Nнөмірі табылып, барлық nүшін {x_n} тізбегінің мүшелері U(a) маңайында жатса, онда aсанын {x_n} сандық тізбегінің шегі деп айтады.

Енді осы анықтамаларды логикалық символикалар арқылы жазайық:

(1)

және сәйкес

(2)

Егер кез – келген Kсаны үшіннөмірі табылып, барлықүшін x_n орындалса, онда {x_n} тізбегі плюс шексіздікке ұмтылады деп айтамыз. Мұны логикалық символикалар арқылы былай:

X_n → + :=(3)

жазады. Дәл осылай {x_n} тізбегінің минус шексіздікке және шексіздікке ұмтылатынын сәйкес

X_n → - :=(4)

X_n → :=(5) түрлерінде жазады.

Шегі жоқ тізбекті плюс шексіздікке, минус шексіздікке және шексіздікке ұмтылатын тізбектерді жинақты емес тізбектерге жатқызамыз.

Жинақты тізбек шегінің жалпы қасиеттері

Мүшелері тек бір ғана мән қабылдайтын тізбек тұрақты тізбек, ал егер белгілі бір N нөмірінен бастап барлық тізбектің мүшелері x_n = a болса, онда {x_n} тізбегі финалды тұрақты деп аталады.

Егер М саны табылып, барлық nүшін |болса, онда {x_n} тізбегі шенелген н/е шектеулі деп аталады.

1 – теорема. Егер тізбек финалды тұрақты болса, онда ол жинақты.

Дәлелдеуі. Шынында да, егер белгілі бір N нөмірінен бастап x_n = a болса, онда а нүктесінің кез – келген U(a) маңайында

x_n , ал бұл (1) анықтама бойынша .

2 – теорема. Егер тізбек жинақты болса, онда оның саны ақырлы мүшелері ғана шектік нүкте маңайында жатпауы мүмкін.

Дәлелдеуі. Дәлелдеуі тікелей анықтамадан шығады. Өйткені табылған N нөміріне дейінгі тізбек элементтерінің жинақтылығы мен шекке ешқандай әсері жоқ. Шек анықтамасы бойынша бастап тізбектің барлық элементтері а нүктесініңмаңайындағы ( яғни

(a – ) интервалында) жатады.

3 – теорема. Егер тізбек жинақты болса, онда оның тек жалғыз ғана шегі бар.

Дәлелдеуі. Керісінше, жинақты тізбектің екі шегі бар деп жориық:

және. Егер болса, ондаoлардың қиылыспайтын сәйкес U(a₁), U(a₂) маңайларын қарастырайық, яғни U(a₁) U(a₂) = . Шек анықтамасынан

:= ,

:= .

Бұл екі қатынастан nболғанда x_nU(a₁) U(a₂) . Бұлай болуы мүмкін емес, өйткені U(a₁) U(a₂) = .

4 – теорема. Жинақты тізбек шектеулі.

Дәлелдеуі. Айталық болсын. Онда

.

Демек . Егер М үшін

Mдеп алсақ, онда |x_n|