19. Бірмәнді оқшауланған ерекше нүктелер, топтары

Анықтама. Егер нүктесінің ойылған маңайы табылып, яғни ішкі радиусы нөл болатын сақина табылып функциясы сақинада аналитикалық функция болса, онда нүктесіфункциясының оқшауланған ерекше нүктесідеп аталады. Айталық, функциясының оқшауланған ерекше нүктесі болсын.функциясыныңсақинасында Лоран қатарына жіктелуін қарастырайық:немесе(1) Осы жіктелуге байланысты оқшауланған ерекше нүктелердің 3 түрін анықтауға болады: 1) Егер (1) жіктелуде Лоран қатарының басты бөлігі болмаса, онда функциясының жөнделетін ерекше нүктесі деп ат. 2) Егер (1) жіктелуде Лоран қатарының басты бөлігінің саны ақырлы болса, онда функциясының полюсі деп ат. Бұл жағдайда алболса, ондасаны полюстің реті болады. Бірінші ретті полюстіжай полюс деп атайды. Егер полюсіқарапайым полюс д.а. Егер еселі полюс д.а. 3) Егер (1) жіктелуде Лоран қатарының басты бөлігінің шексіз көп мүшесі болса, функциясының елеулі ерекше нүктесі деп аталады. Мысал. функциясыаймағында аналитикалық болады. Оның жіктелуі келесі формуламен анықталады:Бұл жіктелуде Лоран қатарының басты бөлігі жоқ, сондықтан

нүктесі функциясының жөнделетін ерекше нүктесі.Теорема. (жөнделетін ерекше нүкте). Айталық функциясының оқшауланған ерекше нүктесі болсын. Егершегінің ақырлы шегі бар болса, онда жөнделетін ерекше нүкте.Теорема.(полюс критерийі). функциясыныңоқшауланған ерекше нүктесі полюс болу үшіншегі шексіздікке ұмтылуы қажетті және жеткілікті.Теорема.(елеулі ерекше нүкте критерийі). функциясыныңоқшауланған ерекше нүктесі елеулі ерекше нүкте болу үшінұмтылғандафункциясының шегі болмауы қажетті және жеткілікті. Аналитикалық функцияның нөлдері (функцияның нөлге айналатын нүктелері) де маңызды орын алады. Егерфункциясы үшін келесі шарттар орындалсаонданүктесінфункциясының-ші ретті нөлі дейміз. Егерболса, онданүктесінфункциясының жай нөлі деп атайды. Функцияның нөлі мен полюсінің арасында байланыс бар. Егернүктесінфункциясының-ші ретті нөлі болса, онданүктесіфункциясы үшін-ші ретті полюс болады және керісінше.Тұжырым. функциясының нүктесі полюс болу үшін бұл нүктефункциясы үшін нөл болуы керек.