14. Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеттері

Теорема-1( Больцано-Коши). Егер кесіндіде үзіліссіз функцияның кесінді ұштарындағы мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда осы кесіндіден функция мәні нөлге айналатын нүкте табылады.

Бұл теореманы логикалық символика арқылы былай жазар едік:

.

Дәлелдеу. кесіндісін екіге бөлейік. Егер бөлген нүктеде функция нөлге тең болмаса, онда алынған екі кесіндінің біреуінің ұштарында функция әртүрлі таңбалы мән қабылдайды. Оны тағы екіге бөліп, осы процесті жалғастыра береміз. Сонда белгілі бір қадамнан соң болатыннүктесіне түссек теорема дәлелденген болады. Немесе нөлге ұмтылатыненгізілген кесінділер тізбегін аламыз. Бұл жағдайда Коши-Кантор енгізілген принципі бойынша осы алынған кесінділердің бәріне ортақ жалғызнүктесі табылады. Құрғанымыз бойыншасіндісінің ұштарынан түзілгенf()<0болатын жәнеf()>0болатын екі тізбегін алдық, әрі бұл тізбектер шектері) =) =. Тізбек шегінің қасиеті мен үзіліссіздік анықтамасынан) =0 және ) =0 . Сонымен, Теорема дәлелденді.

Теорема-2 (Коши). Егер кесіндісінде үзіліссіз жәнеболса, ондасандарының арасындағы кез келген C саны үшін= C болатын ең болмағанда бірнүктесі табылады.

Бұны да логикалық символика арқылы былай жазуға болады:

()

Дәлелдеу. <болғандықтан

() = ()<0),

(Th-1). Теорема дәлелденді.

Теорема-3 (Вейерштрасс). Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде шектеулі.

Дәлелдеу. [a,b] кесіндісінде үзіліссіз осы кесіндіде шектелмеген деп ұйғарайық. ОндаM>0. Ендідептізбегі шектеулі,демек,Больцано-Вейерштрасс теоремасы бойынша жинақталатынішкі тізбек бөліп алуға болады. Айталықболсын.Алболғандықтан.үзіліссіз болғандықтанБұлай болуы мүмкін емес, өйткені ||>және,екені шығады. Бұл қайшылық теореманы дәлелдейді.

Теорема-4(Вейерштрасс). Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.

Басқаша айтқанда, .

Дәлелдеу. Дәлелдеуді тек дәл жоғарғы шекара үшін ғана жүргізсек болғаны,өйткені =).

Айталық M=болсын. Бізге кесіндісіненнүктесінің табылатынын көрсетсек болғаны. Керісінше, ондай нүкте жоқ деп ұйғарайық. Онда(*) теорема ((*) теорема Егер жәнефункцияларыϵE нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл нүктеде,) функциялары үзіліссіз.) бойыншакесіндісінде үзіліссіз және осы кесіндіде.Алтеорема-1 бойыншафункциясышектелген,яғни

=Бұлай болуы мүмкін емес,өйткенісаныфункциясын жоғарыдан шектейтін сандардың ең кішісі.Бұл қайшылық теореманы дәлелдейді.

15. Грин формуласы

Шекарасы тұйық жай қисығы болатын Ωоблысы берілсін. Интеграл туралы сөз қозғасақ ,ондақисығында қисықсызықты, ал Ω жиынында екі еселі интеграл анықталған еді.

формуласы Грин формуласы деп аталады. Сонымен жиынында анықталғанжәнефункциялары арқылы құрылғандифференциалдық форманыңқисығы бойынша алынған қисықсызықты интегралыоблысы бойынша алынған

функциясының екі еселі интегралына тең.

Ω=

B C

A D

x