16. Коши интегралдық теоремасы

Кезкелген n үшін интегралын есептегенде интегралдау контуры болып тұрған бірлік шеңберді ішінде нөл нүктесі жататын кез келген шеңбермен ауыстыруға болады.Бұл жағдайда интегралдың мәні сақталады. Интегралдау контурларын ауыстырғанда интегралдың мәні сақталатын қисықтардыөзара гомотопты қисықтар деп атайды. Ішкі нүктесі координаталар бас нүктесі болып тұрған шеңберлер өзара гомотопты.

Айталық [a,b]-бұлжәнеүзіліссіз қисық-

тарының параметрлік бейнелеулері болсын.G-ашық жиын және⊂G.

Анықтама. Егер үзіліссіз бейнелеуі бар болса, онда қисығына гомотопты деп атаймыз,мұндағы ⊂R кесіндісі мына шартты қанағаттандырады:

Гомотоптылық анықтамасында -

ның орнына

Коши теоремасы.

G облысында f(z) голоморфты функциясының нөлге тең болады:

Бұл теоремаға эквивалентті Коши теоремасының басқаша да түрлерін айтуға болады.

белгілейміз. G-бірбайланысты аймақ болсын.

Коши теоремасы(бір байланысты аймақ үшін) Бір байланысты G аймағында f(z) голоморфты функциясы берілсін .Онда бұл функциядан G аймағында жатқан тұйық Г контуры бойынша алынған. Интеграл нөлге тең болады.Бұл теореманы көп байланысты аймаққа жалпылайық.

Коши теоремасы(көп байланысты аймақ үшін).

f(z) функциясы сырттан Г контурыммен ,ішінде өзара қилыспайтын контурларымен шектелген көп байланысты G аймағында голоморфты функция болсын.және f(z) функциясы тұйықталған G аймағында үзіліссіз болсын.Онда_.

Д/у:n+1 тұйық қарама-жатық сызықтарын қарастырайық, әрбіртүзулері бір-бірінде жатпайды және олардың барлығы Г де орналасқан.Бір уақытта-дің ішінде жататын және- дің ішінде жатпайтын жазықтық нүктелер жиыны шекарасытүзулерінен тұратын n+1- байланысты Д облысын көрсетеді. Бұл жағдайда Д облысының шекарасы оң бағытта өтетінжәне қалған түзулері теріс бағытта өтетінтүзулерінен тұратын күрделі Гконтурды көрсетеді. Егер нүкте күрделі Г контуры бойынша қозғалса, онда Д облысының нүктелері сол жағында қалады. f(z) функциясынтұйық облысында аналитикалық деп ұйғара отырып,(1) екендігін көрсетеміз, мұндағы_.Осыдан күрделі контур жағдайында Коши теоремасы жалпыланады. Дәлелдеу үшін түзулерді көмекші түзумен бірге циклдық ретте қосамыз. ab, cd, ef және екі тұйық түзу қарастырамыз

әрбір түзуінде ішіндегі сияқты аналитикалық болады, онда дәлелдеуіміз бойынша алатынымыз:

Соңғы екі теңдікті өзара біріктіре отырып, қорытындылай алатынымыз:

Себебі көмекші түзу бойынша интегралдау (ab, cd, ef) екі есе кері бағытта болады, сондықтан да жойылады. Дәлелденген (1) теңсіздігін мына түрде де жазуымызға болады:

(2)

Мұндағы интегралдану түзулердің оң бағытында жүзеге асады. Негізінен, (1) теңдігі бойынша (3) теңдігіне ие болатынымызды байқаймыз:

(3)

(3) теңдігінің барлық мүшелерін, біріншісінен басқасын ауыстырамыз, оң жағын және осы мүшелерде интегралдану бағытын өзгертеміз; сонда (2) формуласын аламыз. Дербес жағдайда, егер тұйық түзу өз ішіндетұйық түзуін қамтиды және f(z) функциясытүзулерінің арасында аналитикалық сияқты, түзудің өзінде аналитикалық болады, ондаинтегралының мағынасы осы түзулердің кез келгенінен басқа жерде сол бір сан болады.