ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА

29. Жалпы ықтималдық кеңістігі. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары. Ықтималдықтың қасиеттері.

Өлшенетін кеңістіктегі ықтималдық функция.

Бұл пунктте біз оқиғаның ықтималдығы ұғымын енгізіп, оның бірқатар қасиеттерін дәлелдейміз.

Анықтама. өлшенетін кеңістігі, мұндағы-элементар оқиғалар кеңістігі,-ның ішкі жиындарының қандай да бір алгебрасы берілсін. Онда () кеңістігінде анықталған ықтималдық (ықтималдықтық өлшем, ықтималдықтық функция) деп-дағы жиындарда (-алгебрасында) анықталған, сандық мәндер қабылданған және мына

P1. Кез келген үшін

P2.

P3. Егер оқиғалар тізбегі екеуара үйлеспейтін жәнеболатын оқиғалар тізбегі болса, онда

шарттарын қанағаттандыратын функциясын айтамыз.

Егер -алгебра болса, онда анықтамадағышарты анық (ол міндетті түрде орындалады).

Ықтималдықтар теориясында P1-қасиеті ықтималдықтың теріс еместік (теріс емес анықталғандық) қасиеті, P2- қасиеті – нормаланғандық қасиеті, ал P3-қасиеті -- аддитивтілік (саналымды аддитивтілік) қасиеті деп аталады. Көбіне «қасиеті» сөзінің орнына «аксиома» сөзі қолданылады (P1-ықтималдықтың теріс еместік аксиомасы т.с.с.)

үштігі, мұндағы -алгебра, кеңістігінен ықтималдық кеңістігі деп аталады.

)үштігі, мұндағы-алгебра, ықтималдық кеңістігі деп аталады.

Сонымен, ықтималдық кеңістігін беру дегеніміз () өлшенетін кеңістігінде-ның өлшемі 1-ге тең болатындай (нормаланган) саналымды-аддитивті теріс емес өлшем беру екен. Осындай түрде ықтималдықтар теориясының аксиомаларын алғаш рет XX-ғасырдың 20-жылдарының соңында орыстың ұлы ғалымы А.Н.Колмогоров тұжырымдаған.

Енді P1- P3 аксиомаларынан шығатын ықтималдықтың кейбір қасиеттеріне тоқтала кетелік (төмендегі келтірілген барлық тұжырымдар ) ықтималдық қасиетіне қатысты).

.

Бұл қасиет жәнеP2, P3 -қасиеттері бойынша

болатындығының салдары.

.

Себебі , ондаP2, P3 қасиеті бойынша .

.Егер болса, онда.

Шындығында да бұл жағдайда (себебі

).

. Кез келген А оқиғасы үшін .

Себебі болғандықтанP1, P2-аксиомалары және -қасиет бойынша

.

Бұл жағдайда . ОндаP3-аксиома бойынша

. (ықтималдықтарды қосу формуласы).

Бізде . ОндаP3 және қасиеттерінен

.. Бұл қасиет жәнеP1 қасиеттерінің салдары.

. (Ықтималдықтарды қосу формуласы (жалпы жағдай)).

Бұл қасиетті -формуланы және индукцияны қолданып дәлелдеуге болады (дәлелдеуін оқырман еншісіне қалдырамыз).

.

Мынандай оқиғалар тізбегін енгізелік:

,

Онда

Ендеше P3 қасиеті бойынша .

30. Шартты ықтималдық. Тәуелсіздік. Жиынтықта тәуелсіздік.

1 – анықтама. ықтималдық кеңістігі,жәнеоқиғасының ықтималдығы қатаң оң болсын:. Ондаоқиғасыныңоқиғасы пайда болған кездегі шартты ықтималдығы депжәнеоқиғаларының бірдей уақытта пайда болу ықтималдығыныңоқиғасының (шарттың) ықтималдығына қатынасын айтамыз және онынемесеарқылы белгілейміз.

Сонымен

(1)

Анықтамадан, бекітіліп қойылған үшін функциясы алгебрасында анықталған ықтималдықтық функция болатынын аламыз:

P1.кез келген үшін;

P2.;

P3.Кез келген үйлеспейтін ,оқиғалар тізбегі үшін

Бұл айтылғандар бізге жаңа ықтималдық кеңістігін құрастыруға мүмкіндік береді. Екіншіден, бекітіліп қойылғанүшінжүйесі-алгебра болады да, біз жаңаықтималдық кеңістігін анықтай аламыз.

1 – анықтамадан

(2)

формуласын аламыз. Формула ықтималдықтарды көбейту формуласы деп аталады. Жалпы, кез келген оқиғалары үшін (2)-формула былайша жалпыландырылатынын байқау қиын емес:

(2’)

тек бұл (2’)-формуласында шартын талап ету қажет (бұл жағдайда (2’)-формуланың оң жағындағы барлық шартты ықтималдықтардың мағынасы болады)

Тәуелсіздік.

Егер болатын болса, онда оқиғасыоқиғасынан тәуелсіз деп айту қисынды. Тәуелсіздік ұғымы (екі оқиға үшін) симметриялы ұғым егер-дан тәуелсіз болса, онда-да -дан тәуелсіз, яғни ( әрине, мұнда). Бірақ, егер, мәселен болса, онда шартты ықтималдығын анықтай алмаймыз.Дегенмен бұл жағдайда -ның -дан тәуелсіздігінің салдары болатын қатынасы орындалады, сондықтан осы шартты оқиғалардың тәуелсіздігінің анықтамасы ретінде аламыз.

2-анықтама. Егер ықтималдық кеңістігіндегі оқиғалары үшін олардың көбейтіндісінің ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең болса, яғни

(3)

қатынасы орындалса, онда және оқиғалары (екеуара) тәуелсіз оқиғалар деп аталады.

3-анықтама.Егер кез келген , үшін

(4)

шарттары орындалса, онда оқиғаларыжиынтықта тәуелсіз (немесе қысқаша тәуелсіз)оқиғалар деп аталады.