Наращение аннуитета постнумерандо

Введем следующие обозначения показателей:

- R_t – величина t-го элемента ренты (для постоянной ренты R₁= R₂ = =... = R_n = R);

- n – срок ренты;

- А – современная стоимость аннуитета постнумерандо;

- S – будущая стоимость аннуитета постнумерандо.

На рисунке схематически изображена постоянная рента постнумерандо и процесс определения ее будущей стоимости.

R R R R

t=0 1 2 3 t=4=n t

Сх-а опр-ия буд ст-ти ан-та постнумерандо.

Платеж, сделанный в момент n входит в наращенную сумму без изменения, т.е. в размере R. Платеж, сделанный в момент n-1 входит в наращенную сумму в размере R(1+i); платеж, сделанный в момент n-2 входит в наращенную сумму в размере R(1+i)² и т.д.

Будущая стоимость аннуитета постнумерандо S равна сумме наращенных стоимостей всех поступлений , другими словами, она представляет собой приведенную к концу периода (последнегоn-го интервала) стоимость элементов данного ДП.

Наращенная стоимость каждого отдельного элемента аннуитета постнумерандо определяется зависимостью

,(7.2)

где j – порядковый номер элемента ДП в обратном порядке (j=n, n–1,…,2,1).

Следовательно, наращенная сумма всей ренты в момент n будет равна:

. (7.3)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой b₁ = R, знаменатель q = 1+i, число членов равно n. По формуле (7.1) находим сумму первых n членов геометрической прогрессии:

.(7.4)

Множитель, на который умножается R, называется множителем наращения ренты и обозначается

.(7.5)

Экономический смысл множителя s_n;i заключается в том, что он показывает будущую стоимость постоянной ренты постнумерандо размером в одну денежную единицу. Из формул (7.3), (7.4) видно, что

. (7.6)

Тогда будущая стоимость аннуитета постнумерандо определяется по формуле

.(7.7)

Для последовательных интервалов времени, когда общий срок определяется как n = n₁ + n₂, множитель наращения ренты равен

. (7.8)

Для аннуитета с начислением процентов m раз в году

.(7.9)

Дисконтирование аннуитета постнумерандо

Операция дисконтирования выполняется для определения современной величины аннуитета постнумерандо (A)

R R R R

t=0 1 2 3 t=4=n t

Схема определения современной стоимости аннуитета постнумерандо.

Современная стоимость аннуитета постнумерандо А равна сумме текущих стоимостей всех поступлений , другими словами, она представляет собой приведенную к началу периода (нулевому моменту времени) стоимость элементов данного ДП.

Современная стоимость каждого отдельного элемента аннуитета постнумерандо определяется зависимостью

.(7.10)

Следовательно, современная сумма всей ренты в нулевой момент будет равна:

.(7.11)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой b₁ = Rv, знаменатель q = v, число членов равно n. По формуле (7.1) находим сумму первых n членов геометрической прогрессии:

.(7.12)

Множитель, на который умножается R, называется множителем приведения ренты и обозначается

. (7.13)

Экономический смысл множителя a_n;i заключается в том, что он показывает современную стоимость постоянной ренты постнумерандо размером в одну денежную единицу. Из формул (7.11), (7.12) видно, что

. (7.14)

Тогда современная стоимость аннуитета постнумерандо определяется по формуле

.(7.15)

Для последовательных интервалов времени, когда общий срок определяется как n = n₁ + n₂, множитель приведения ренты равен

.(7.16)

Для аннуитета с начислением процентов m раз в году

.(7.17)