Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
__________________________________________________________________
Л.В. Большакова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО
2-е издание
Рекомендовано Учебно-методическим отделом СПО в качестве учебного пособия
для использования в учебном процессе образовательными учреждениями
среднего профессионального образования по всем специальностям и профессиям
Саратов
Профобразование
2024
УДК 519.2
ББК 22.1
Б79
Автор:
Большакова Л.В. — канд. физ.-мат. наук, доцент,
профессор кафедры математики и информатики
Санкт-Петербургского университета МВД России
Рецензент:
Попов А.И. — д-р экон. наук, профессор, заслуженный работник
высшей школы РФ, заслуженный деятель науки республики Бурятия;
кафедра прикладной информатики и информационных технологий
Санкт-Петербургского университета государственной
противопожарной службы МЧС России
Большакова, Людмила Валентиновна.
Б79 Теория вероятностей : учебное пособие для СПО / Л.В. Большако-
ва. — 2-е изд. — Саратов : Профобразование, 2024. — 196 с. — (Среднее
профессиональное образование). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4488-1967-4
В учебном пособии даны основные понятия и утверждения теории вероятностей;
рассмотрены случайные события и их вероятности, случайные величины и законы их
распределения. Краткое и простое изложение теории сопровождается большим количеством задач со смысловым содержанием и подробным решением. Предлагается достаточное количество задач для самостоятельного решения, к которым даны ответы.
Составлено с учетом требований Федеральных государственных образовательных
стандартов среднего профессионального образования по специальностям, связанным с
математическими и естественными науками, инженерным делом, технологиями и техническими науками, а также с науками об обществе экономического и социологического направления.
Учебное пособие предназначено для изучения дисциплин «Математика», «При-
кладная математика» и «Теория вероятностей и математическая статистика» математического и общего естественнонаучного цикла. Кроме того, издание может быть полезно
для школьников старших классов при изучении соответствующей темы дисциплины
«Математика», а также при подготовке к ЕГЭ.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4488-1967-4 © Большакова Л.В., 2019
© ООО «Профобразование», 2024
Учебное издание
Большакова Людмила Валентиновна
Редактор Ю.Б. Захарова
Технический редактор, компьютерная верстка А.Д. Талмаева
Корректор А.В. Ушакова
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова
Подписано к использованию 10.04.2024. Объем данных 7 Мб.
ООО «Профобразование»
8-800-511-14-70 (бесплатный звонок по России)
E-mail: office@profspo.ru, sale@profobr.pro
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................................... 6
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 8
РАЗДЕЛ 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТЬ ........................... 12
ГЛАВА 1. КОМБИНАТОРИКА, ЕЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ПРАВИЛА .............................................................................................................. 13
1.1. Понятие комбинаторики ................................................................................ 13
1.2. Основные правила комбинаторики ............................................................... 13
1.3. Основные элементы комбинаторики ............................................................ 15
1.3.1. Размещения ............................................................................................... 15
1.3.2. Перестановки ........................................................................................... 19
1.3.3. Сочетания ................................................................................................. 21
Задачи для самостоятельного решения ............................................................... 24
ГЛАВА 2. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ
И ЕГО ВЕРОЯТНОСТИ ........................................................................................... 28
2.1. Понятие и виды случайных событий ............................................................ 28
2.2. Основные операции над случайными событиями ....................................... 35
2.3. Понятие вероятности случайного события .................................................. 37
2.3.1. Статистическое определение вероятности случайного события .... 38
2.3.2. Классическое определение вероятности случайного события ........... 40
2.3.3. Геометрическое определение вероятности .......................................... 43
2.3.4. Аксиоматическое построение теории вероятностей ......................... 46
Задачи для самостоятельного решения ............................................................... 48
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ .......................................................................................... 57
3.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий .......................... 57
3.2. Теорема умножения вероятностей событий ................................................ 61
3.3. Теорема сложения вероятностей совместных событий .............................. 68
3.4. Формула полной вероятности........................................................................ 71
3.5. Формулы Байеса .............................................................................................. 75
Задачи для самостоятельного решения ............................................................... 78
ГЛАВА 4. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ ............................................................. 83
4.1. Испытания и формула Бернулли ................................................................... 83
4.2. Локальная предельная теорема...................................................................... 87
4.3. Формула Пуассона .......................................................................................... 89
4.4. Интегральная предельная теорема ................................................................ 91
Задачи для самостоятельного решения ............................................................... 92
5
РАЗДЕЛ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ
ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ............................................................................................ 95
ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ВИДЫ И ЗАКОН
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ................................................................................................... 96
5.1. Понятия случайной величины и закона распределения вероятностей ..... 96
5.2. Формы законов распределения дискретной случайной величины ............ 98
5.3. Функция распределения случайной величины и ее свойства .................. 102
5.3.1. Функция распределения дискретной случайной величины ................. 105
5.3.2. Функция распределения непрерывной случайной величины ............... 107
5.4. Плотность распределения вероятностей и ее свойства ............................ 109
Задачи для самостоятельного решения ............................................................. 114
ГЛАВА 6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..................................................................................... 120
6.1. Математическое ожидание и его свойства ................................................. 120
6.1.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины ........ 120
6.1.2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины ....... 123
6.1.3. Свойства математического ожидания .............................................. 125
6.2. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение ....................................... 128
6.2.1. Определение дисперсии и среднеквадратического отклонения ........ 129
6.2.2. Свойства дисперсии ............................................................................... 132
6.3. Понятия центрированных и стандартных случайных величин ............... 134
6.4. Начальные и центральные моменты ........................................................... 135
Задачи для самостоятельного решения ............................................................. 140
ГЛАВА 7. КОНКРЕТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..................................................................................... 145
7.1. Виды законов распределения дискретных случайных величин .............. 145
7.1.1. Биномиальный закон распределения ..................................................... 145
7.1.2. Распределение Пуассона ........................................................................ 147
7.1.3. Геометрический закон распределения ................................................. 150
7.1.4. Гипергеометрическое распределение ................................................... 153
7.2. Виды законов распределения непрерывной случайной величины .......... 155
7.2.1. Равномерный закон распределения ....................................................... 155
7.2.2. Показательное распределение .............................................................. 159
7.3. Нормальный закон распределения непрерывной
случайной величины ............................................................................................ 162
Задачи для самостоятельного решения ............................................................. 172
МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ ........................................... 177
ТЕСТЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ .................................................................... 181
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ................ 188
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ............................................................................... 193
ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................................... 196
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время для решения многих практических задач применяются
различные математико-статистические методы. Все эти методы базируются на
основных понятиях и утверждениях теории вероятностей. В современных условиях развития общества теория вероятностей, как дисциплина, изучающая различного рода случайности, становится неотъемлемой частью общего образования специалиста самых различных направлений, как технических, так и гуманитарных.
Пособие состоит из двух разделов, посвященных двум основным поняти-
ям теории вероятностей: случайным событиям и случайным величинам.
Первый раздел включает четыре главы. Многие задачи теории вероятностей в своем решении используют основные правила и формулы комбинаторики. При этом правильность решения всей задачи во многом определяется правильностью выбора той или иной формулы комбинаторики. Поэтому основным
правилам и понятиям этой науки посвящена глава 1.
В главе 2 определяется понятие случайного события, выясняются, какими
могут быть события и какие действия можно проводить над случайными событиями. Далее в этой главе приводятся различные определения вероятности случайного события. В главе 3 даются основные теоремы теории вероятностей —
теоремы сложения и умножения, а также следствия из этих теорем — формула
полной вероятности и формула Байеса, а в главе 4 рассматриваются независимые испытания и основные утверждения, связанные с ними.
Второй раздел состоит из трех глав. В главе 5 даны понятия случайной
величины, дискретной и непрерывной случайных величин. Особое внимание
уделено закону распределения случайной величины. Рассматривается общая
форма закона — функция распределения и частные формы закона для дискретной случайной величины — ряд и многоугольник распределения, для непрерывной — плотность распределения вероятностей.
Глава 6 посвящена числовым характеристикам случайных величин. Главные из этих характеристик — математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение — разобраны достаточно подробно.
В главе 7 рассматриваются законы распределения случайных величин:
для дискретной случайной величины — это биномиальный, геометрический,
гипергеометрический законы и закон Пуассона, для непрерывной — это равномерный, показательный и нормальный законы распределения.
7
При изложении материала для лучшего его понимания и усвоения приводится много примеров с подробным решением.
Каждая глава завершается задачами для самостоятельного решения.
В конце книги приведены необходимые для решения некоторых задач математико-статистические таблицы (приложения 1 и 2), тесты для контроля знаний и предметный указатель основных понятий, рассматриваемых в пособии.
Цель работы — изложить основы теории вероятностей, познакомить с ее
основными понятиями и методами, научить решать вероятностные задачи, которые могут быть использованы в будущей профессиональной деятельности.
В результате изучения данного пособия студент должен
знать:
- основные понятия и правила комбинаторики;
- понятие случайного события и его вероятности;
- основные теоремы теории вероятностей;
- понятие случайной величины, виды случайных величин;
- основные законы распределения случайных величин;
уметь:
- решать комбинаторные задачи;
- применять основные понятия и теоремы для нахождения вероятностей
различных случайных событий;
- решать задачи, связанные с различными законами распределения дис-
кретной и непрерывной случайных величин.
8
ВВЕДЕНИЕ
Это учение, объединяющее точность математических доказательств
с неопределенностью случая и примиряющее эти, казалось бы,
противоречивые элементы, с полным правом может претендовать
на титул «математика случайного».
Блез Паскаль
Теория вероятностей занимает особое место в семье математических
наук: эта наука изучает особого рода законы, управляющие случайными явлениями.
Практически все события и явления, которые совершаются в окружающем нас мире, взаимосвязаны — одни из них являются следствием (исходом)
других и, в свою очередь, служат причиной третьих. Во многих явлениях наряду с совершенно определенными исходами встречаются и неоднозначные исходы. Если первые можно предсказать точно, то вторые допускают лишь вероятностные предсказания. Неоднозначность исходов, прежде всего, связана со
случайностями различного рода, которые непосредственно влияют на рассматриваемое явление.
Со случайностями мы встречаемся достаточно часто, значительно чаще,
чем это принято считать. Случаен результат встречи двух футбольных команд
одного и того же уровня. Случайно число очков, выпавших при одном броске
игрального кубика. Выручка торгового предприятия за определенный промежуток времени, например, за 30 дней, изменяется от месяца к месяцу случайным образом. В основе любого процесса массового обслуживания — торговли,
медицинской помощи, телефонной связи, транспортных услуг и т. д. — лежит
множество случайных факторов.
Мысль о возможности количественной оценки некоторой «случайности»
прошла длительный путь, прежде чем преобразовалась в конкретные понятия,
используемые в практических задачах и научных исследованиях. Некоторые
идеи о случайных явлениях и случайных событиях появились у человечества
еще в глубокой древности. В трудах мыслителей Эллады, таких как Демокрит,
Платон, Аристотель, можно найти интересные мысли о случайных и неслучайных явлениях. Имеются общие высказывания о случайных явлениях и в произведениях древнеиндийских и древнекитайских авторов. Однако до XVII в. не
существовало никаких общих правил для решения вопросов, связанных со случайными явлениями, да и сами эти вопросы не подвергались никакому система-
9
тическому анализу. Лишь с середины XVII в. теория вероятностей стала
оформляться и развиваться как наука в работах замечательных французских
ученых Б. Паскаля и П. Ферма, а также голландского ученого Х. Гюйгенса.
Формирование интереса к задачам, в которых исследуется возможность
оценить появление того или иного случайного события или возможность оценить последствия влияния некоторых случайных факторов на результат, происходило прежде всего под влиянием развития страхового дела. Однако толчком
для того, чтобы великие математики обратили внимание на частные вопросы,
связанные с различными случайными событиями, явились азартные игры, игры
в кости и карты. Как сказал знаменитый французский ученый С. Пуассон: «Задача, относящаяся к азартным играм… была источником теории вероятностей».
Первый трактат по теории вероятностей был написан Гюйгенсом в 1657 г. Он
назывался «О расчетах при азартных играх». Уже в этой книге ученый указывал
на возможность возникновения новой науки: «…при внимательном изучении
предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории глубокой и весьма интересной».
Классическое определение вероятности случайного события было впервые сформулировано, хотя и далеко не в совершенной форме, в знаменитом
труде «Искусство предположений» известного швейцарского математика
Я. Бернулли. Окончательно это определение оформилось позднее — в работе
П. Лапласа «Аналитическая теория вероятностей».
В развитии понятия вероятности несомненную роль сыграл французский
естествоиспытатель Л. Бюффон в связи с интересовавшими его задачами естествознания, в особенности происхождения Солнечной системы. Он ввел понятие геометрической вероятности и рассмотрел ряд задач, связанных с этим понятием. В частности, ему принадлежит известная задача о бросании иглы, которая занимала многих. Решение этой задачи позволяло экспериментально
определить число π.
В нашей стране интерес к теории вероятностей фактически возник только в
первой половине XIX в., когда по разным поводам к ней обращались такие выдающиеся исследователи, как Н. И. Лобачевский, В. Я. Буняковский и др. Существенный вклад в развитие теории вероятностей внесли замечательные русские
ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов. Широкое применение вероятностных представлений в физике и в самых различных областях практической
деятельности человека привело к тому, что к началу ХХ в. назрела необходимость
уточнения понятия вероятности. Это было необходимо, в частности, для того,
10
чтобы избежать спекуляций, связанных с неоправданными применениями этой
теории, опиравшимися лишь на «житейские» представления.
Уточнение понятия вероятности произошло на основе аксиоматического
подхода. Такой подход основывается на некоторых положениях (аксиомах), из
которых выводятся все остальные положения в результате применения определенных четко сформулированных правил.
Общепринятое сегодня аксиоматическое определение вероятности было
разработано академиком А. Н. Колмогоровым и изложено им в книге «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.). Предложенная аксиоматика поставила понятие вероятности на строгую математическую основу, в результате чего теория вероятностей окончательно оформилась как полноправная математическая дисциплина.
Теория вероятностей, или, как она называлась раньше, «математика случайного», — наука, изучающая специальные методы для решения задач, возникающих при изучении массы случайных явлений. Этой массе свойственна тенденция к устойчивости, стабильности. Оказывается, существуют специфические закономерности, управляющие однородными массами случайных
событий, на что указывали еще К. Маркс и Ф. Энгельс: «Но где на поверхности
происходит игра случайности, там сама эта случайность всегда оказывается
подчиненной внутренним скрытым законам. Все дело лишь в том, чтобы открыть эти законы».
Открыть закономерность в массе случайных событий и явлений — вот
замысел науки о случайном. Теория вероятностей раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Ее методы не дают возможности
предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать
средний суммарный результат однородных случайных явлений. Следовательно,
зная законы, управляющие массами случайных явлений, можно добиться, в
случае необходимости, целенаправленного изменения хода случайных явлений,
их контроля.
Из всего вышеописанного видно, насколько велика роль понятия вероятности. О значении этого понятия для всей современной науки прекрасно написал один из наших философов, работающих над методологическими проблемами естествознания, — Ю. В. Сачков: «Само понятие вероятности можно, не боясь преувеличений, назвать знаменем теоретического естествознания ХХ века,
по крайней мере, первой его половины». Теперь уже начало XXI в., однако влияние теории вероятностей на естествознание, инженерное дело, организацию
производства, военное дело продолжает возрастать и дальше.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]