Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
131
(Х — М(Х))2
1,69
0,09
7,29 Р
0,3
0,5
0,2
Найдем математическое ожидание полученной случайной величины:
D(X) = M[(X — M(X))2]=1,69×0,3+0,09×0,5+7,29×0,2=2,01.
Пример 6.7. Найти дисперсию непрерывной случайной величины, задан-
ной своей функцией плотности: f(x) = 0,5x при х (0,2); для остальных х функция плотности равна нулю.
Решение. Найдем математическое ожидание по формуле (6.2):
2
22
3
2
00
0
84
( ) 0,5 0,5 0,5 0,5
3 3 3
x
M X x xdx x dx= = = = =
.
По формуле (6.6) найдем дисперсию, при этом несобственный интеграл
превратится в определенный по заданному промежутку (0,2):
2
2
22
4 3 2
32
00
0
4 4 16 8 16
( ) 0,5 0,5 2 0,5
3 3 9 4 3 3 9 2
x x x
D X x xdx x x x dx
= − = − + = − + =
4 3 2
2 8 2 16 2 4 2
0,5 0,5
4 3 3 9 2 9 9
= − + = =
.
Для вычисления дисперсии часто применяется другая формула, которая
легко получается из формулы (6.4).
Теорема 6.1. Дисперсия случайной величины равна разности между ма-
тематическим ожиданием квадрата этой случайной величины и квадратом математического ожидания:
D(X) = M(X2) — M 2(X). (6.7)
Доказательство. Преобразуем формулу (6.4), используя свойства математического ожидания, получим:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ) [( ( )) ] [ 2 ( ) ( )] ( ) (2 ( )) ( ( ))
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
D X M X M X M X XM X M X M X M XM X M M X
M X M X M X M X M X M X M X M X M X
= − = − + = − + =
= − + = − + = −
132
Теорема доказана.
Пример 6.8. Решим пример 6.6, используя формулу (6.7). Математическое
ожидание было найдено, оно равно М(Х) = 2,3. Теперь найдем закон распределения величины Х 2, получим
Х2 1
4
25
Р
0,3
0,5
0,2
Найдем М(Х2) = 1×0,3 + 4×0,5 + 25×0,2 = 7,3. Тогда дисперсия равна
D(Х) = 7,3 — (2,3)2 = 2,01.
Очевидно, что применение формулы (6.7) значительно упрощает процесс
нахождения дисперсии. Понятно, что эту же формулу можно применять и для
нахождения дисперсии непрерывной случайной величины.
6.2.2. Свойства дисперсии
Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т. е. D(C) = 0, где С —
постоянная величина.
Доказательство. По определению дисперсии с использованием свойств
математического ожидания получим:
D(С) = M[(С — M(С))2]= M[(С — С)2] =М(0)= 0.
Этот результат достаточно очевиден, так как постоянная величина принимает всего одно значение, поэтому разброс значений отсутствует.
Свойство доказано.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя
его в квадрат, т. е. D(СX) = С2D(X).
Доказательство. По определению дисперсии с использованием свойств
математического ожидания получим
D(СХ) = M[(СХ — M(СХ))2] = M[(СХ — СM(Х))2]= M[С2(Х — M(Х))2]=
= С
2
M[(Х — M(Х))2]= С2D(X).
133
Свойство доказано.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме
дисперсий этих величин, т. е. если величины Х и Y независимы, то
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
Доказательство. Для доказательства применим формулу (6.7) и свойства
математического ожидания, получим:
D(X+Y) = M((X+Y)2) — M2(X+Y)= M(X2+2XY+Y2) — (M(X+Y))2=
= M(X2) + M(2XY) + M(Y2) — (M(X)+M(Y))2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2 —
— M2(X) — 2M(X)M(Y) - M2(Y) = M(X2) — M2(X) + M(Y2) — M2(Y) = D(X) + D(Y).
Свойство доказано.
Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых величин равна
сумме дисперсий этих величин.
Доказательство можно провести методом математической индукции.
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сум-
ме их дисперсий, т. е. D(X — Y) = D(X) + D(Y).
Доказательство. Применяя второе и третье свойства дисперсии, получим D(X — Y) = D(X) + D(– Y) = D(X) + (–1)2D(Y) = D(X) + D(Y).
Свойство доказано.
Доказанное свойство также легко распространить на любое конечное
число независимых случайных величин.
Пример 6.9. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, равной
числу появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р.
Решение. Пусть случайная величина Х — число появлений события А в n
испытаниях.
Введем в рассмотрение еще n случайных величин:
Х
1
— число появлений события А в первом испытании;
Х
2
— число появлений события А во втором испытании;
Х
n
— число появлений события А в n-ом испытании.
Очевидно, что Х = Х1 + Х2 + … + Хn. Величины Х1, Х2, …, Хn взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.
Воспользуемся следствием четвертого свойства дисперсии, получим:
D(X) = D(X1) + D(X2) + …+ D(Xn).
134
Найдем дисперсию величины Х1. Ряд распределения этой величины имеет вид:
Х
1
0 1 Р
1−р
р
Тогда М(Х1) = р; М(Х
1
2
) = р; D(X1) = р — р2 = р(1 — p)=pq.
Очевидно, что дисперсия каждой из остальных случайных величин также
равна pq. Поэтому
D(X) = D(X1) + D(X2) +… + D(Xn) = npq.
Если исследуется некоторая случайная величина, у которой значения являются достаточно большими числами, то существует возможность перейти от
этой величины к более простым величинам, называемым центрированной и
стандартной.
6.3. Понятия центрированных
и стандартных случайных величин
Пусть дана некоторая случайная величина Х. Тогда из нее можно образовать другую случайную величину, называемую центрированной.
Центрированной случайной величиной называется случайная величина,
равная отклонению некоторой случайной величины Х от своего математического ожидания.
Следовательно, по определению отклонения, центрированная величина — это величина вида Х — М(Х).
Выше было показано, что математическое ожидание отклонения равно
нулю. Найдем дисперсию отклонения. Получим:
D(X — M(X)) = D(X) + D(M(X)) = D(X) + 0 = D(X).
Итак, справедлива:
Теорема 6.2. Дисперсии случайных величин Х и Х — М(Х) равны между
собой.
Отметим, что центрирование случайной величины геометрически означает перенос начала координат в точку с абсциссой, равной математическому
ожиданию.
Центрированная случайная величина, как и обычная случайная величина,
имеет свою размерность. Иногда бывает удобно использовать безразмерные величины, т. е. величины, значения которых не зависят от того, в каких единицах
измеряется случайная величина. Разделим величину Х — М(Х) на среднеквадратичное отклонение σ(Х), имеющее ту же размерность, что и отклонение. Вновь
полученную случайную величину назовем стандартной.
135
Стандартной случайной величиной Z называется величина вида:
()
()
X M X
Z
X
−
=
,
где Х — произвольная случайная величина.
Теорема 6.3. Математическое ожидание стандартной случайной величи-
ны равно нулю, а дисперсия равна 1.
Доказательство. Найдем вначале математическое ожидание стандартной величины, используя свойства математического ожидания, получим:
( ) 1 1
( ) ( ( )) 0 0
( ) ( ) ( )
X M X
M Z M M X M X
X X X
−
= = − = =
.
Дисперсию определим тоже на основании свойств дисперсии, а также
предыдущей теоремы, получим:
22
( ) 1 1 ( )
( ) ( ( )) ( ) 1
( ) ( ) ( ) ( )
X M X D X
D Z D D X M X D X
X X X D X
−
= = − = = =
.
Теорема доказана.
6.4. Начальные и центральные моменты
Особое значение для характеристики распределения случайной величины
имеют числовые характеристики, называемые начальными и центральными
моментами.
Начальным моментом k-го порядка αk(Х) случайной величины Х назы-
вается математическое ожидание k-ой степени этой величины, т. е.:
α
k
(Х) = М(Хk). (6.8)
Формула (6.8) в силу определения математического ожидания для различных случайных величин имеет свой вид, а именно, для дискретной случайной величины с конечным множеством значений:
1
()
n
k
k i i
i
X x p
=
=
; (6.9)
для непрерывной случайной величины:
136
( ) ( )
k
k
X x f x dx
+
−
=
, (6.10)
где f(x) — плотность распределения случайной величины Х.
Несобственный интеграл в формуле (6.10) превращается в определенный
интеграл по конечному промежутку, если все значения непрерывной случайной
величины имеются только в этом промежутке.
Одна из ранее введенных числовых характеристик — математическое
ожидание — является не чем иным, как начальным моментом первого порядка,
или, как говорят, первым начальным моментом:
М(Х) = α1(Х).
В предыдущем пункте было введено понятие центрированной случайной
величины Х — М(Х). Если эту величину рассматривать в качестве основной, то
для нее также могут быть найдены начальные моменты. Для самой величины Х
эти моменты будут называться центральными.
Центральным моментом k-го порядка μk(Х) случайной величины Х
называется математическое ожидание k-ой степени центрированной случайной
величины, т. е.:
μ
k
(Х) = М((Х — М(Х))k). (6.11)
Иначе говоря, центральный момент k-го порядка — это математическое
ожидание k-ой степени отклонения.
Центральный момент k-го порядка для дискретной случайной величины с
конечным множеством значений находится по формуле:
1
( ) ( ( ))
n
k
k i i
i
X x M X p
=
=−
, (6.12)
для непрерывной случайной величины — по формуле:
( ) ( ( )) ( )
k
k
X x M X f x dx
+
−
=−
. (6.13)
137
Примечание. В дальнейшем, когда будет понятно, о какой случайной величине идет речь, ее в обозначениях начальных и центральных моментах писать не будем, т. е. вместо αk(Х) и μk(Х) будем писать просто αk и μk.
Очевидно, что центральный момент первого порядка равен нулю, так как
это не что иное, как математическое ожидание отклонения, которое равно нулю
по ранее доказанному, т. е.
1
0=
.
Нетрудно понять, что центральный момент второго порядка случайной
величины Х совпадает с дисперсией этой же случайной величины, т. е.
2
( ).DX
=
Кроме этого, существуют следующие формулы, связывающие начальные
и центральные моменты:
2
2 2 1
3
3 3 1 2 1
24
4 4 1 3 1 2 1
;
3 2 ;
4 6 3
=−
= − +
= − + −
.
Итак, моменты первого и второго порядков (математическое ожидание и
дисперсия) характеризуют самые важные черты распределения: его положение
и степень разброса значений. Для более подробного описания распределения
служат моменты более высоких порядков. Покажем это.
Предположим, что распределение случайной величины симметрично относительно своего математического ожидания. Тогда все центральные моменты
нечетного порядка, если они существуют, равны нулю. Это объясняется тем,
что в силу симметричности распределения для каждого положительного значения величины Х − М(Х) существует равное ему по модулю отрицательное значение, при этом вероятности этих значений равны. Следовательно, сумма в
формуле (6.12) состоит из нескольких пар, равных по модулю, но разных по
знаку слагаемых, которые при суммировании взаимно уничтожаются. Таким
образом, вся сумма, т. е. центральный момент любого нечетного порядка дискретной случайной величины, равна нулю. Аналогично центральный момент
любого нечетного порядка непрерывной случайной величины равен нулю, как
интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.
Естественно предположить, что если центральный момент нечетного порядка отличен от нуля, то и само распределение не будет симметрично относительно своего математического ожидания. При этом чем больше центральный
момент отличается от нуля, тем больше асимметрия в распределении. Возьмем
в качестве характеристики асимметрии центральный момент наименьшего нечетного порядка. Так как центральный момент первого порядка равен нулю для
138
случайных величин, имеющих любые распределения, то для этой цели лучше
использовать центральный момент третьего порядка. Однако этот момент имеет размерность куба случайной величины. Чтобы избавиться от этого недостатка и перейти к безразмерной случайной величине, делят значение центрального
момента на куб среднеквадратического отклонения.
Коэффициентом асимметрии Аs или просто асимметрией называется
отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения, т. е.:
3
3
()
s
A
X
=
. (6.14)
Иногда асимметрию называют «скошенностью» и обозначают Sk (от английского слова skew — косой).
Если коэффициент асимметрии отрицательный, то на его величину достаточно сильно влияние отрицательных слагаемых (отклонений) и распределение
будет иметь левую асимметрию, а график (кривая) распределения является более пологим слева от математического ожидания. Если коэффициент положителен, то асимметрия правая, а кривая более полога справа от математического ожидания (рис. 6.1).
Рис. 6.1
Как было показано, для характеристики разброса значений случайной величины вокруг своего математического ожидания служит второй центральный
момент, т. е. дисперсия. Если этот момент имеет большое числовое значение, то
данная случайная величина имеет большой разброс значений и соответствующая кривая распределения имеет более пологий вид, чем кривая, для которой
f(х)
х
As > 0
As < 0
139
второй центральный момент имеет меньшее значение. Поэтому второй центральный момент характеризует в какой-то степени «плосковершинность» или
«островершинность» кривой распределения. Однако эта характеристика не
очень удобная. Центральный момент второго порядка имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Если попытаться получить
безразмерную величину, поделив значение момента на квадрат среднеквадратического отклонения, то для любой случайной величины полу-
чим:
2
2
()
1
( ) ( )
DX
X D X
==
. Таким образом, этот коэффициент не может являться ка-
кой-либо характеристикой распределения случайной величины. Он одинаков
для всех распределений. В этом случае можно использовать центральный момент четвертого порядка.
Эксцессом Ek называется величина, определяемая по формуле:
4
4
3
()
k
E
X
=−
. (6.15)
Эксцесс в основном применяется для непрерывных случайных величин и
служит для характеристики так называемой «крутости» кривой распределения,
или иначе, как уже было сказано, для характеристики «плосковершинности»
или «островершинности» кривой распределения. В качестве эталонной кривой
распределения считается кривая нормального распределения (о самом распределении будет подробно идти речь в следующей главе). Для случайной величи-
ны, распределенной по нормальному закону, имеет место равенство
4
4
3
()X
=
.
Поэтому эксцесс, заданный формулой (6.15), служит для сравнения данного
распределения с нормальным, у которого, в свою очередь, в соответствии с
данной формулой эксцесс получается равным нулю.
Если для какой-то случайной величины получен положительный эксцесс,
то кривая распределения этой величины является более островершинной, чем
соответствующая кривая нормального распределения. Если же эксцесс отрицателен, то кривая является более плосковершинной по сравнению с кривой нормального распределения (рис. 6.2).
140
Рис. 6.2
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины,
имеющей следующее распределение:
а)
Х 2 3
7
Р
0,6
0,3
0,1
б)
Х
–3
–2
1
Р
0,2
0,4
0,4
в)
Х
–4 0 1
Р
0,5
0,4
0,1
6.2. Партия из 10 деталей содержит 4 бракованных. Наугад выбирается
две детали. Найти математическое ожидание случайной величины Х, равной
числу бракованных деталей среди выбранных.
6.3. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значе-
ния: х1 = 4 с вероятностью р1 = 0,5; х2 = 6 с вероятностью р2 = 0,3 и х3 с вероятностью р3. Найти х3 и р3, зная, что М(Х) = 8.
6.4. Дискретная случайная величина имеет следующий закон распреде-
ления:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]