Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие для СПО
.pdf
51
В — ни на одном кубике не выпало трех очков;
С — на одном кубике выпало три очка, а на другом не выпало трех очков.
3) испытание: передача двух сигналов по каналу связи;
А — два сигнала искажены;
В — два сигнала не искажены.
4) испытание: эксплуатация двух приборов в течение определенного вре-
мени;
А — хотя бы один прибор вышел из строя;
В — не вышел из строя только один прибор.
5) испытание: передача трех сигналов по каналу связи;
А — все три сигнала переданы без ошибок;
В — все три сигнала переданы с ошибками;
С — два сигнала переданы с ошибками, один — без ошибок.
2.13. Назвать противоположные события для следующих событий:
А — выпадение двух гербов при бросании двух монет;
В — выбор белого шара, если выбирается один шар из урны, в которой
лежат черные, белые и красные шары;
С — пять попаданий при пяти выстрелах;
D — не более трех попаданий при пяти выстрелах;
Е — хотя бы одно попадание при пяти выстрелах.
2.14. Относительно каждой из групп событий ответить на следующие во-
просы: являются ли события несовместными; образую ли они полную группу;
являются ли они равновозможными:
1) испытание: бросание двух монет;
А — выпало два герба;
В — выпали две решки;
С — выпали один герб и одна решка.
2) испытание: один бросок игрального кубика;
А — выпадение одного или двух очков;
В — выпадение двух или трех очков;
С — выпадение трех или четырех очков;
D — выпадение четырех или пяти очков;
Е — выпадение пяти или шести очков.
2.15. Из таблицы случайных чисел наудачу взято число. Рассмотрим два
события:
А — число делится на 5;
В — число оканчивается нулем.
Что означают события:
, , , ,AB A B AB AB AB+
?
52
2.16. Рабочий берет три детали из ящика. События:
А — хотя бы одна из трех деталей бракованная;
В — не менее двух деталей из трех бракованные.
Что означают события:
, , , ,AB A B AB AB AB+
?
2.17. Экзаменационный билет содержит три вопроса. События:
А — студент знает ответ на первый вопрос;
В — студент знает ответ на второй вопрос;
С — студент знает ответ на третий вопрос;
D — студент сдал экзамен.
Студент сдает экзамен, если знает ответы хотя бы на два вопроса. Выразить событие D через А, В, С.
2.18. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до первого
попадания. Выигрывает тот, кто первым забросит мяч. События:
А
к
— первый попадает при к-ом броске;
В
т
— второй попадает при т-ом броске.
Записать через Ак и Вт события А — выиграет первый; событие В — выиграет второй.
2.19. Посетитель входит в зал музея, где уже есть три человека. События
А
к
— к-ый человек из трех знаком посетителю (к = 1, 2, 3); В — среди трех по-
сетителей хотя бы один знаком. Записать событие В через Ак.
2.20. Турист из пункта А в пункт В может попасть двумя дорогами. Обо-
значим события:
А
1
— турист пошел первой дорогой из А в В;
А
2
— турист пошел второй дорогой из А в В.
Из пункта В в пункт С ведут три дороги. Обозначим события:
В
1
— турист пошел первой дорогой из В в С;
В
2
— турист пошел второй дорогой из В в С;
В
3
— турист пошел третьей дорогой из В в С.
Выразить события К1, К2, К3, К4 через вышеуказанные события и им противоположные, если:
К
1
— турист выбрал дорогу от А до В наугад, а от В до С пошел третьей
дорогой;
К
2
— турист от А до В пошел первой дорогой, а от В до С дорогой, вы-
бранной наугад;
К
3
— турист от А до В пошел не первой дорогой, а от В до С пошел не
третьей дорогой;
К
4
— турист дошел от А до С.
53
2.21. Доказать следующие равенства (можно геометрически) для произ-
вольных событий А, В, С:
()
( )( )
A B C AB AC
A BC A B A C
+ = +
+ = + +
;
( )( )( )
AB A B
A B A C B C AB AC BC
=+
+ + + = + +
.
2.22. При каких условиях имеют место равенства:
A B AB
A A A
A A A
+=
+=
=
?
2.23. Справедливы ли равенства:
AB A B
A B C A B C
=+
+ + =
?
2.24. Упростите выражения:
( )( )
( )( )( )
(( ) ( ))
A B A B
A B B C C A
A B B A AB
++
+ + +
++
.
2.25. В ящике имеются шары трех цветов: белые, черные, красные. Обо-
значим события:
А — наугад выбранный шар белый;
В — наугад выбранный шар черный;
С — наугад выбранный шар красный.
Проверить правильность равенств:
; ; C AB B AC A B C U= = + + =
.
2.26. Найти случайное событие Х из равенства
+X A X A B+ + =
.
2.27. Электрическая цепь составлена по схеме, представленной на рис. 2.12.
54
Рис. 2.12
Событие Ак — элемент с номером к вышел из строя, к = 1, 2, 3, 4. Событие В означает разрыв цепи. Выразить В через Ак.
2.28. В урне находятся 4 белых и 15 черных шаров. Какова вероятность
того, что наудачу взятый шар окажется белым?
2.29. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад выбираются два
шара. Найти вероятность того, что:
1) оба шара белые;
2) оба шара черные;
3) один шар белый и один шар черный.
2.30. В партии деталей из 10 штук имеются шесть бракованных. Наудачу
вынимаются три детали. Определить вероятности событий:
А — все три детали бракованные;
В — все три детали доброкачественные;
С — две детали доброкачественные, одна бракованная;
D — одна деталь доброкачественная, две бракованные.
2.31. Среди 25 учащихся группы, в которой 4 девушки, остальные —
юноши, разыгрываются пять лотерейных билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся только две девушки.
2.32. На десяти карточках написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К.
После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают
их в том порядке, в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на
карточках будет написано слово «математика».
2.33. 25 экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не
повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. Какова
вероятность того, что вынутый экзаменующимся билет состоит из подготовленных им вопросов?
2.34. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что
шесть штук из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые по-
2 4 3
55
павшиеся пять штук. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общей регулировке?
2.35. Из партии, состоящей из 15 радиоприемников, случайно для про-
верки отбирают три приемника. Партия содержит пять неисправных приемников. Какова вероятность того, что в число отобранных войдут:
1) только исправные приемники;
2) только неисправные приемники;
3) один неисправный и два исправных приемника?
2.36. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, …, 120 и
произвольно расположенных. Лаборантка наудачу извлекает две карты. Найти
вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.
2.37. В ящике имеется 16 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сбор-
щик случайным образом извлекает три детали. Найти вероятность того, что все
извлеченные детали окажутся окрашенными.
2.38. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру и
набрал ее наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?
2.39. На складе имеется 18 кинескопов, причем 13 из них изготовлены
Московским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу взятых
кинескопов окажутся три кинескопа Московского завода.
2.40. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены.
При включении устройства случайным образом включаются два элемента.
Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
2.41. 10 футбольных команд разбиты жеребьевкой на две подгруппы по
пять команд в каждой. Среди команд имеются две сильные. Определить вероятность событий:
А — сильные команды оказались в разных подгруппах;
В — сильные команды оказались в одной подгруппе.
2.42. Электронное устройство состоит из пяти элементов и работает нор-
мально, если исправны все элементы. При сборке устройства элементы выбираются из партии объемом 100. Все способы выбора пяти элементов равновероятны. В партии 95 исправных и 5 неисправных элементов. Определить вероятность того, что устройство работает нормально.
2.43. Взвод солдат из 36 человек состоит из 20 артиллеристов и 16 пехо-
тинцев. Из взвода наугад отбирают шесть человек. Какова вероятность того,
что среди отобранных два человека будут пехотинцы?
2.44. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до
100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона
не содержит цифры 5.
2.45. У сборщика 12 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них
пять — первого вида, четыре — второго и три — третьего. Какова вероятность
56
того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две — второго и одна — третьего?
2.46. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых
находится четырехтомник А. П. Чехова. Предполагая, что различные расположения книг равновероятны, найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).
2.47. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек.
Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже начиная
со второго. Найти вероятность того, что:
1) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже;
2) все пассажиры выйдут на четвертом этаже;
3) все пассажиры выйдут на разных этажах.
2.48. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на
разные месяцы года.
2.49. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность
того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается,
что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его расположения относительно круга.
2.50. В книжном магазине на полке 10 различных книг, причем пять книг
стоят по 40 руб. каждая, 3 книги по 10 руб. и две книги по 30 руб. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 50 руб.
2.51. Два друга Павел и Иван договорились встретить Новый год в ком-
пании из 10 человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом.
Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места
распределять по жребию.
2.52. Группа студентов из 8 человек садится в пригородный электропо-
езд, насчитывающий 10 вагонов. Предположим, что каждый из студентов выбирает свой вагон совершенно случайно и с одинаковой вероятностью оказывается в любом из вагонов. Какова вероятность того, что все студенты попадут в
разные вагоны?
2.53. В библиотеке имеются книги по математике, эконометрике, эконо-
мическому анализу, менеджменту и т. д., всего по 16 разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятности следующих событий:
А — заказаны книги из разных разделов науки;
В — заказаны книги из одного и того же раздела науки.
57
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ
3.1. Теорема сложения
вероятностей несовместных событий
В предыдущей главе было показано, как можно определить вероятность
отдельного случайного события при выполнении определенных условий. Как
известно, со случайными событиями можно проводить арифметические действия, главными из которых являются сложение и умножение событий. Теория
вероятностей позволяет с помощью своих основных теорем найти вероятность
суммы и произведения событий, т. е. определить либо вероятность появления
хотя бы одного из рассматриваемых событий, либо вероятность одновременного появления этих событий.
К основным теоремам теории вероятностей относятся:
1. Теорема сложения вероятностей.
2. Теорема умножения вероятностей.
Рассмотрим теорему сложения вероятностей для частного случая. Предположим, что А и В — несовместные события, причем будем считать, что вероятности этих событий известны или могут быть найдены.
Теорема 3.1. Вероятность появления одного из двух несовместных собы-
тий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.:
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +
. (3.1)
Доказательство. Пусть n — общее число всех равновозможных элементарных событий испытания, в котором могут появиться события А или В. Обозначим через тА и тВ число элементарных событий, благоприятствующих событиям А и В соответственно. Так как события А и В несовместны, то сумме этих
событий А + В благоприятствуют тА+ тВ элементарных событий. Поэтому:
( ) ( ) ( )
A B A B
m m m m
P A B P A P B
n n n
+
+ = = + = +
.
Теорема доказана.
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно
несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
58
1 2 1 2
( ... ) ( ) ( ) ... ( )
nn
P A A A P A P A P A+ + + = + + +
. (3.2)
Доказательство нетрудно провести, используя метод математической
индукции.
Пример 3.1. В ящике находятся 8 белых, 5 черных и 10 красных шаров.
Случайным образом выбирается один шар. Какова вероятность того, что этот
шар не белый?
Решение. Пусть событие А — выбор черного шара, В — выбор красного
шара. Тогда событие С = А + В определяет выбор не белого шара (либо черного,
либо красного).
По классической формуле
5 10
( ) ; ( )
23 23
P A P B==
. По теореме 3.1 окон-
чательно получаем:
5 10 15
( ) ( ) ( ) ( )
23 23 23
P C P A B P A P B= + = + = + =
.
Пример 3.2. На фирме имеется две вакантные должности, на занятие ко-
торых претендуют трое мужчин и пять женщин. Найти вероятность того, что
среди взятых на работу людей будет хотя бы один мужчина, если отбор претендентов производится случайным образом.
Решение. Пусть событие С состоит в том, что среди взятых на работу людей будет хотя бы один мужчина. Очевидно, что событие С произойдет в том
случае, когда произойдет одно из следующих двух несовместных событий: А —
приняты на работу двое мужчин; В — приняты на работу одна женщина и один
мужчина. Таким образом, С = А + В.
Найдем вероятности событий А и В, используя классическую формулу,
получим:
2
3
2
8
3!
3
2!1!
()
8!
28
2! 6!
C
PA
C
= = =
и
11
35
2
8
3 5 15
()
8!
28
2! 6!
CC
PB
C
= = =
.
События А и В несовместны, следовательно, можно применить теорему 3.1. Получаем:
3 15 18 9
( ) ( ) ( ) ( )
28 28 28 14
P C P A B P A P B= + = + = + = =
.
59
При решении примера 3.2 не было рассмотрено только одно из возможных событий, состоящее в том, что будут приняты на работу две женщины.
Обозначим его буквой D и найдем его вероятность. Применяя классическую
формулу, получаем:
2
5
2
8
5!
10 5
2! 3!
()
8!
28 14
2! 6!
C
PD
C
= = = =
.
Нетрудно понять, что события А, В и D образуют полную группу для испытания: выбор двух человек из восьми. Найдем сумму вероятностей этих со-
бытий:
3 15 10
( ) ( ) ( ) 1
28 28 28
P A P B P D+ + = + + =
. Полученный результат можно
представить в общем виде.
Теорема 3.2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу,
равна 1.
Доказательство. Пусть события А1, А2, …, Аn образуют полную группу
для некоторого испытания. Тогда по определению в результате этого испытания одно из событий обязательно произойдет, т. е. сумма этих событий является достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1. Следовательно, справедливо равенство:
12
( ... ) 1
n
P A A A+ + + =
.
Напомним, что по определению полной группы она состоит из несовместных событий. Тогда по следствию из теоремы 3.1 получаем:
1 2 1 2
( ... ) ( ) ( ) ... ( ) 1
nn
P A A A P A P A P A+ + + = + + + =
.
Теорема доказана.
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Доказательство непосредственно следует из того, что противоположные
события образуют полную группу, следовательно, по теореме 3.2 имеет место
формула:
( ) ( ) 1P A P A+=
, (3.3)
где А и Ā — противоположные события.
60
Следствие доказано.
При решении задач чаще применяется преобразованная формула (3.3), а
именно:
( ) 1 ( )P A P A=−
. (3.4)
Пример 3.3. Из девяти кандидатов для выбора на три должности пятеро
имеют диплом с отличием. Все имеют одинаковые шансы быть выбранными на
эти должности. Определить вероятность того, что среди выбранных будет хотя
бы один, имеющий диплом с отличием.
Решение. Пусть событие А означает, что среди выбранных кандидатов хо-
тя бы один имеет диплом с отличием. Очевидно, что событие Ā, противоположное А, будет состоять в том, что все три выбранных человека не имеют диплома с отличием. Найдем вероятность противоположного события. Для этого
применим классическую формулу, получаем
3
3
95
4
33
99
4!
41
3!1!
()
9!
7 4 3 21
3! 6!
C
C
PA
CC
−
= = = = =
.
По формуле (3.3) найдем вероятность события А:
1 20
( ) 1 ( ) 1
21 21
P A P A= − = − =
.
Решение примера 3.3 может быть получено и другим, более длинным,
способом. Нетрудно понять, что событие А есть сумма следующих событий:
А
1
— среди выбранных только один кандидат с дипломом с отличием;
А
2
— среди выбранных два кандидата с дипломами с отличием;
А
3
— среди выбранных три кандидата с дипломами с отличием.
По классической формуле получаем
1 2 2 1 3
5 4 5 4 5
1 2 3
3 3 3
9 9 9
30 40 10
( ) ; ( ) ; ( )
84 84 84
C C C C C
P A P A P A
C C C
= = = = = =
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]