Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет

И. Б. БАШМАКОВА, И. И. КОРАБЛЁВА, С. С. ПРАСНИКОВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2016

УДК 519.2

A

BA

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент А. Е. Михайлов (СПбГАСУ);

канд. физ.-мат. наук, доцент В. Г. Дмитриев (СПбГЭУ)

Башмакова, И. Б.

Теория вероятностей: учеб. пособие / И. Б. Башмакова,

И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова; СПбГАСУ. – СПб., 2016. – 107 с.

ISBN 978-5-9227-0665-0

Предназначено для ознакомления студентов с азами теории вероятностей. Даны основные определения и теоремы. Теоретическое изложение сопровождается большим количеством примеров. Представлена методика решения задач. Приводятся варианты контрольных работ.

Может быть использовано для самостоятельного изучения раздела «Теория вероятностей» студентами СПбГАСУ всех форм обучения и всех специальностей.

Табл. 3. Ил

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.

. 19. Библиогр: 8 назв.

ISBN 978-5-9227-0665-0



Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Испытания. События

Определение 1.1.1. Испытание (или опыт, или эксперимент) – это реализация некоторых условий, содержание которых должно быть описано заранее.

Заметим, что испытание может воспроизводиться неограниченное число раз.

В примерах под словами «Рассмотрим опыт, состоящий в подбрасывании монеты», понимаем, что бросаем монету

над столом на некоторую высоту с условием, что монета упадет на стол той или другой стороной.

Определение 1.1.2. Событие – это результат испытания.

События будем обозначать заглавными латинскими буквами

,B ,C …, а также буквами с индексами

,, CBA и т. д.

531

Пример 1.1.1. Если подбрасывать монету, то могут произойти

следующие события:

{монета упала на стол}; {монета упала гербом вверх}; {монета упала цифрой вверх};

D {монета встала на ребро}; E {монета упала не на стол}.

Событие

тия

B и C могут произойти или не произойти в результате экспе-

римента. Событие тельно, в данном опыте произойти не может. Событие

по условиям испытания происходит всегда. Собы-

выходит за рамки условий опыта и, следова-

D практиче-

ски неосуществимо, так как монета в силу неустойчивости этого состояния опустится на ту или другую сторону.

Пример 1.1.1 показывает, что события могут быть классифи-

цированы.

Определение 1.1.3. Событие называется достоверным, если

оно обязательно произойдет в данном опыте.

Достоверное событие обозначим

Пример 1.1.2. Рассмотрим опыт, состоящий в подбрасывании









ABA







ABAA

BABA



ABA





над столом игрального кубика, с условием, что кубик упадет на стол гранью вверх.

Достоверное событие

{на выпавшей грани выпало меньше

U

10 очков}.

В примере 1.1.1 достоверным событием является событие



{монета упала на стол}.

Определение 1.1.4. Событие называется невозможным, если

оно не может осуществиться при данном испытании.

Невозможное событие обозначим символом В примере 1.1.1

мере 1.1.2 невозможное событие

E {монета упала не на стол} ,

{на кости выпало 7 очков}.



а в при-

Пример 1.1.3. Рассмотрим урну, в которой лежат 5 красных

шаров. Невозможное событие

{из этой урны вынимаем белый



шар}.

Определение 1.1.5. Событие называется случайным, если оно

может произойти, а может и не произойти в результате данного опыта.

При подбрасывании монеты (пример 1.1.1) случайные собы-

тия: 

B {монета упала гербом вверх},

{монета упала цифрой

вверх}.

При подбрасывании игрального кубика (пример 1.1.2) случай-

ные события:

{выпало 1 очко};

1A

{выпало 2 очка}; …;

2A

{выпало

6 очков}.

Пример 1.1.4. Рассмотрим урну, содержащую 5 белых

и 7 черных шаров.

Случайное событие

{из урны достали белый шар}.

1.2. Алгебраические действия над событиями

Введем символические операции над событиями. Пусть

и B – два события, происходящие в результате како-

го-то испытания.

Определение 1.2.1. Суммой (или объединением) событий

и ,B происходящих в результате одного опыта, называется собы-

тие ,

C которое происходит тогда, когда происходит или событие

или событие ,B или оба эти события вместе, и обозначается

{или ,A или ,B или оба вместе}

C

Пример 1.2.1. Рассмотрим опыт, состоящий в подбрасывании



BAB

A





игрального кубика.

Пусть событие

Тогда событие пало или 2 очка, или 4, или 6}

Событие

или 5, или 6}

A {выпадение i-го числа очков}, i = 1, 2, …, 6.

{на кубике выпало четное число очков} = {вы-

AAA 

642

{выпало не менее четырех очков} = {или 4 очка,

AAA 

654

Определение 1.2.2. Произведением (или пересечением) собы-

тий событие ,D которое происходит, если происходят вместе

происходящих в результате одного опыта, называется

и событие

, и событие .B

Обозначение:

D {и событие

, и событие B} .

Пример 1.2.2. Подбрасывают две монеты. Событие D {вы-

пало два герба}.

Определение 1.2.3. Если ,

вают

несовместными, т. е. осуществление события

появление события

то события A и B назы-

исключает

Пример 1.2.3. Появление герба и цифры при бросании монеты –

это несовместные события.

Определение 1.2.4. Событие

событию ,A если оно происходит тогда и только тогда, когда

ным

не происходит событие

Пример 1.2.4. Событие

монеты}, то

Пример 1.2.5. Если

ном кубике}, то ков}

= {выпадение цифры}.

A {выпадение одного очка на играль-

= {выпадение двух, или трех, или …, шести оч-

AAAAA 

65432

называется противополож-

{выпадение герба при бросании

Пример 1.2.6. Опыт состоит в стрельбе по мишени двумя

стрелками по одному разу (исключаем возможность попадания в одну точку обоими стрелками).

Пусть событие

A {первый стрелок попал в мишень},

2A {второй стрелок попал в мишень}, тогда 1A = {промах первого

стрелка},

= {промах второго стрелка}. Опишем в терминах про-

изведения и суммы событий следующие события:

B {два попадания в мишень} = {и первый попал, и второй





UDCB













SBA

SBA

CCACCACAAAA

AA





попал}

{два промаха}={и первый промахнулся, и второй промах-



нулся} =

D {одно попадание в мишень} = {или первый попал, а вто-

рой промахнулся, или первый промахнулся, а второй попал} =

Отметим, что ,

одно из этих событий обязательно произойдет.

Событие

одно попадание, или два попадания}:

Отметим, что противоположным событием

попадание} является событие

1.3. Поле событий. Элементарные события (исходы)

Определение 1.3.1. Полем событий S

ность событий, которые происходят в результате одного и того же эксперимента, обладающая следующими свойствами:

;



;



если ,

Пример 1.3.1. В опыте с подбрасыванием монеты поле

стоит из четырех событий:

{монета упала на стол};

U

{монета не упала на стол};





{монета упала гербом вверх}; {монета упала цифрой вверх}.



Заметим, что поле событий которых остальные события поля раических операций.

Так, в примере с монетой основными событиями являются события: герб и цифра. В примере с игральным кубиком роль основных событий играют события

ной из шести граней. Такие события называются

;

AA 

;21AA 

AAAA 

2121

 так как в данном эксперименте

{произойдет хотя бы одно попадание} = {или

 =

 то ;SA  ,

то



{оба стрелка промахнулись}.

называется совокуп-



содержит основные события, из

получаются с помощью алгеб-

,,,,, AAAAAA – выпадение од-



AAAAAA 

212121

{хотя бы одно

654321

элементарными.

со-

Пример 1.3.2. В стрельбе пулей по мишени элементарный ис-

CAC

CBABC

ABAAA







ход – это попадание в отдельную точку. Попадание в мишень представляет собой сумму всех элементарных исходов.

Пример 1.3.3. В урне лежат 2 белых шара, 1 синий и 1 крас-

ный. Из урны один за другим последовательно (без возвращения) вынимают 2 шара. Найти множество элементарных исходов поля событий данного опыта.

Решение. Пусть событие

Событие B = {вынуть из урны синий шар}; событие из урны красный шар}.

Тогда множество элементарных исходов поля событий данно-

го опыта следующее:

1.4. Определение вероятности

Определение 1.4.1 (классическое определение вероятности).

Вероятностью события

ятных этому событию исходов к общему числу всех возможных исходов:

m – число элементарных исходов, благоприятствующих появле-

где нию события ,

Пример 1.4.1. Бросаем монету.

Пусть событие

Вероятность выпадения герба

дов равно двум, а благоприятный исход – один (герб только на од-

ной стороне). Аналогично

Пример 1.4.2. Бросаем игральный кубик.

Пусть событие

1. Вероятность выпадения 6 очков

элементарных исходов 6, а 6 очков только на одной грани.

а n – число всех элементарных исходов испытания.

{выпал герб}, тогда A = {выпала цифра}.

{выпадение i-го числа очков}, .6...,,2,1i

= {вынуть из урны белый шар}.

= {вынуть

называют отношение числа благопри-



AP 



AP



AP так как общее число исхо-



AP так как всего

2. Вероятность выпадения одного очка





























AS



























го элементарных исходов 6, а одно очко только на одной грани.

3. Событие

или два}

4. Событие

 

5. Событие

В последнем примере мы показали, что вероятность невозможного события

U равна 1.

Пример 1.4.3. В урне лежат 5 белых и 7 черных шаров.

Событие 

Событие B {извлечение черного шара},

Кроме приведенного классического определения вероятности существуют и другие.

Определение 1.4.2 (статистическое определение вероятности).

Пусть событие



Повторим опыт

опытах, то величину

появления события A в n испытаниях.

той

При многократном повторении испытаний в одинаковых условиях относительные частоты группируются около определенного числа, которое называют события .A

Свойства относительной частоты:



3) если ,

B {выпало менее трех очков} = {или одно очко



{выпало 10 очков} 

 PCP так как ни на одной грани нет 10 очков.

D {выпало менее 10 очков}

 



равна 0, а вероятность достоверного события

{извлечение белого шара},

происходит в результате некоторого опыта,

раз, если событие A появится m раз в n



 называют относительной часто-



 ,

;10 AK

,0



то

статистической вероятностью

BP

 UPDP





AP



AP так как все-

BP

.BKAKBAK

nnn

Исходя из свойств относительной частоты, введем еще одно







































понятие вероятности.

Определение 1.4.3 (вероятность как функция на поле со-

бытий).

Вероятностью на поле событий S называется функция

торая каждому событию из

причем так, что выполнены условия:

1. Для любого события



 AP .

относительной частоты. Вместе с тем вероятность «не привязана» к эксперименту в отличие от относительной частоты.

бытия

Эта теорема принимается еще в качестве аксиомы (определение

1.4.3, условие 3) и называется аксиомой сложения.

Событие или 6} =

3. Если ,

Условия 1–3 называются аксиомами вероятности. В данном определении вероятности сохранены все свойства

Теорема 1.5.1

Пример 1.5.1. Подбросим кубик.

События

Так как события



и B из поля S несовместны, т. е. ,



UP .

1.5. Теорема сложения вероятностей

(теорема сложения вероятностей). Если со-

AAA 

642

PBAP

 (или

A {выпадение i-го числа очков}, .6...,,2,1

B {выпало четное число очков} = {или 2 очка, или 4,

        

Заметим, что тот же ответ получится при непосредственном подсчете вероятности:

всего исходов шесть –

.3m

ставит в соответствие число

из поля S справедливо неравенство

,, AAA

642



, а благоприятных (т. е. четных очков) –

то

, или B)

несовместны, то



 .

то

BPAP

. (1)

642642



BPAPBAP 

 APAPAPAAAPBP

ко-



,AP



























































BA

BA



A





AB





























.1 APAP 

APAPAPAAAPUP

 BAPBPAPBAP



.1 APAP 

 AAPUP

из

AAA ...,,,

.1......

Следствие 1.5.1. Если событие ,

Доказательство. Если ,

так как

,SA



Пример 1.5.2. Пусть событие 

одном выстреле} и

Пример 1.5.3. Пусть событие

ства}.

Если

кажет,

Определение 1.5.1. Полной группой событий

поля из них обязательно произойдет во время эксперимента, т. е.

Следствие 1.5.2. Очевидно, что сумма вероятностей полной

группы событий равна единице. Действительно,

Теорема 1.5.2 (теорема сложения вероятностей для сов- местных событий).

из поля

Эту теорему мы приводим без доказательства.

Пример 1.5.4. Подбросим кубик.

Пусть бросании}. Событие вероятность события

Решение. Событие 

или трех очков}.



Так как события то вероятность события

, но

APAP 



называются попарно несовместные события, причем одно



jiAA

т. е.

событие

AP



UP следовательно,

.4,06,01 AP

,98,0AP тогда вероятность того, что устройство от-

ji  и

Пусть события A и B – совместные события





{выпадение одного или двух очков при

B {выпадение двух или трех очков}. Найти



BP

и B совместные (выпадение двух очков),

 то противоположное событие

. Вероятность



.02,098,01 AP

321

тогда

{выпадение или одного, или двух,





 то

{попадание в мишень при

,6,0AP тогда вероятность промаха

{безотказная работа устрой-



....



 BAP

UAAAA



2121



.BAPBPAPBAP

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]