Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие-1
.pdf
чения случайной величины ,X а в нижней – соответствующие ве-
X
P
X
X
X
X
P
роятности, с которыми эти значения принимаются:
x 2x
1
p
1
p
2
…
…
x
…
n
p
…
n
где
21
xxx
случайной величины
Здесь
Таблица называется рядом распределения
.......
n
.
xXPp
n и .1
nn
...,2,1
p
n
n
Ряд распределения полностью характеризует функцию распределения дискретной случайной величины и тем самым представляет собой один из видов задания закона распределения случайной величины.
Пример 2.1.4. Опыт состоит в том, что дважды подбрасывает-
ся игральный кубик. Случайная величина
– число выпадений
шести очков. Составить ряд распределения случайной величины X.
Решение. Шесть очков могут появиться два раза, один раз
и ни разу, т. е. случайная величина
Тогда ряд распределения примет вид (значения
принимает значения 2, 1, 0.
поставим
x
k
по возрастающей величине)
0 1 2
p
1
p
2
p
3
p ,
Найдем вероятности ,
а) событие
0X {6 очков выпали 0 раз, т. е. на обоих ку-
биках не выпали 6 очков} =
По теореме умножения
б) событие
1X {6 очков выпало один раз} = {или 6 очков
p
1
:
p
2
3
.66AA
0
5
661
AAPXPp ;
656
25
36
выпало первый раз, а второй раз не выпало или первый раз не выпало 6 очков, а выпало второй раз} =
1
1
66662
5
656
.
AAAA
6666
5
10
36
616
AAPAAPXPp
18
;
31
в) событие
X
P
X
P
p
p
p
p
A
P
X
P
XA
X
Таким образом, ряд распределения случайной величины
выпавших шести очков – имеет вид
Заметим, что сумма вероятностей равна единице.
Пример 2.1.5. Охотник, имея 4 патрона, стреляет по дичи до
первого попадания или пока не израсходует патроны. Вероятность
попадания равна 0,7. Составить ряд распределения случайной величины
второй раз} =
раз не попал и третий раз попал} =
тий раз, а четвертый раз попал или не попал ни разу} =
=
израсходовать, если попал с четвертого раза или все четыре раза
промахнулся.
– числа израсходованных патронов.
Решение
Ряд распределений имеет вид
Обозначим событие:
а) событие
б) событие
в) событие
г) событие
2
3
{оба раза выпало 6 очков} =
2X
AAPXPp
616
1
36
4
;7,01
AAPXPp
.AAA
1
36
.
;21,07,03,02
;063,07,03,03,03
2
X
X
1X {охотник попал с первого раза} =
1
2X
.AA
0 1 2
25
36
1 2 3 4
1
{охотник попал}:
10
36
2
{охотник первый раз не попал, попал во
1
663
3
APXPp
3X {охотник первый раз не попал, второй
XPp
4X {охотник не попал первый, второй, тре-
т. е. четыре патрона можно
,AAAAAAAA
.66AA
– числа
.A
32
4
P
X
P
X
A
X
3
p
.27,03,03,03,03,03,07,03,03,03,0
Следовательно, ряд распределения примет вид
X
12 3 4
0,7 0,21 0,063 0,027
Пример 2.1.6. Опыт состоит в попытке завести автомобиль
с помощью ключа зажигания. Вероятность того, что машина заведется при повороте ключа, равна 0,4. Составить ряд распределения
случайной величины
– числа попыток завести автомобиль.
Решение
X
12 3 4…
4,0
4,06,0
4,06,02 4,06,03
…
Отметим, что по условию задачи число попыток неограниченно, поэтому ряд распределения может содержать бесконечно много
x ,
значений ,
1
x …
2
Проверим, что сумма вероятностей здесь равна 1. Действительно, так как это сумма членов убывающей геометрической прогрессии с первым членом 0,4 и знаменателем 0,6, то
i
p
i
1
2
...4,06,04,06,04,0
4,0
.1
6,01
Пример 2.1.7. В урне 12 шаров, из которых 5 белых и 7 чер-
ных. Испытание состоит в том, что извлекаем из урны три шара
один за другим без возвращения.
Составить ряд распределения случайной величины
– числа
вынутых белых шаров.
Решение. Пусть событие
событие
A {извлечен черный шар}.
Случайная величина
а) событие
0X {среди трех извлеченных шаров 0 белых,
т. е. все три шара черные} =
1
б) событие
0
1X {среди трех извлеченных шаров 1 белый
шар и 2 черных} =
принимает значения 0, 1, 2, 3:
{извлечен белый шар}. Тогда
.AAA
7
5
6
7
10
11
12
AAAPXPp
44
;
.AAAAAAAAA
33
2
P
X
P
X
x
X
X
X
P
x
765
3
в) событие
=
3
3
г) событие
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
Х 0 1 2 3
Проверим:
Пример 2.1.8. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Извлекаем
шар, отмечаем его цвет и возвращаем обратно в урну. Такую операцию проделываем три раза. Случайная величина
лых шаров среди трех извлеченных.
Решение. Очевидно, что
в предыдущем примере. Но вероятности будут другие, так как
в урне будет всегда находиться 5 белых и 7 черных шаров:
а) событие
б) событие
и 2 черных шара}.
121110
X = {2 белых и 1 черный шар} =
2
754
121110
3X {три белых шара} =
4
7
44
4
p
k
k
1
0X {0 белых шаров или все 3 шара черные}.
1
2
11
12
21
;
44
2
4
5
11
12
7
;
22
.1
7
0
12
1X {среди трех извлеченных шаров 1 белый
31
12
10
7
12
10
5
3
12
21
44
принимает значения 0, 1, 2, 3, как
7
12
12
7
5
XPp
12
12
34
10
11
.
AAAAAAAAA
4
7
5
10
11
3
4
XPp
10
11
7
22
7
7
2
XPp
12
12
11
12
7
11
12
1
.
21
14
44
3
343
1728
2
735
715
3
1728
1
XPp
10
4
5
XPp
10
.AAA
2
1
44
22
X – число бе-
;
;
5
6
7
6
5
7
6
7
5
в) событие
P
X
x
X
X
X
P
x
3
г) событие
Ряд распределения имеет вид
Х 0 1 2 3
2.2. Функция распределения случайной величины Х
Определение 2.2.1.
личины
ственного
Пример 2.2.1. Подбросим игральный кубик один раз.
Случайная величина
ряд распределения, найти функцию распределения случайной величины
Решение. Множество возможных значений случайной вели-
чины :
вероятностью, равной
Х 1 2 3 4 5 6
Найдем функцию распределения
1. Пусть
павшей грани <1} =
называется функция
Построить график функции распределения.
.
1, 2, 3, 4, 5, 6. Она принимает эти значения с одинаковой
1
6
343
1728
равна вероятности события
.xXPxF
,1
{2 белых и 1 черный шар}.
2X
2
5
3X {три белых шара}.
4
Функцией распределения случайной ве-
1
.
Ряд распределения имеет вид
6
1
6
тогда событие
, тогда
32
XPp
12
3
5
3
XPp
12
735
1728
,xF которая для любого веще-
– число выпавших очков. Составить
1
6
PxXPxF
35
525
7
12
1
6
xF :
xX
125
1728
1728
;
1728
.
525
1
6
{число очков на вы-
.0
125
1728
,xX т. е.
1
6
2. Пусть
x
x
x
x
x
x
X
x
выпавшей грани <2} =
3. Пусть ,32
выпавшей грани <3} =
4. Пусть ,43
1
1
1
6
6
6
5. Пусть ,54
2
4
.
3
6
6. Пусть ,65
тогда событие
,21
.1
X
тогда событие
тогда
1 XPxXPxF
.21 XX
21 XPXPxXPxF
1
3
.
2
6
тогда
тогда
xXPxF
7. Пусть ,6
тогда
xXPxF
Таким образом,
{число очков на
xX
1
.
6
xX {число очков на
1
2
1
1
6
6
321
XXXXXP
.
3
6
XXXPxXPxF
4321
XXXXPxXPxF
5
54321
.
6
6
654321
XXXXXXP
6
.1
36
x
X
x
x
x
x
x
x
x
xF
1
6
1
3
1
2
2
3
5
6
Строим график функции распределения
xF
5
6
1
2
1
6
;1,0
;21,
;32,
;43,
;54,
;65,
.6,1
(рис. 1).
xF
0
2
1
3
Рис. 1
4
6
5
На графике видно, что функция
точки разрыва и принимает значения от 0 до 1, т. е.
xF – неубывающая, имеет
.10 xF
Пример 2.2.2. Два стрелка делают по одному выстрелу в ми-
шень (попадание в одну точку обоими стрелками в данном опыте
исключается). Вероятность попадания для первого стрелка равна
0,8, для второго она равна 0,7.
Случайная величина
– число пробоин в мишени после того,
как стрелки сделали по одному выстрелу. Составить ряд распределения, найти функцию распределения
37
xF и построить ее график.
Решение
X
P
A
B
X
P
x
x
x
x
x
x
F
1. Ряд распределения случайной величины X имеет вид
0 1 2
p
1
{первый стрелок попал в мишень}, а собы-
3
0
Пусть событие
тие
{второй стрелок попал в мишень}.
Найдем ,
а) событие
p ,
p
1
2
0X {оба стрелка промахнулись} =
1
p :
б) событие
.BA
2
в) событие
BPAPBAPXPp
3
Следовательно,
Отметим, что сумма вероятностей равна 1.
2. Найдем функцию распределения
а) пусть ,0
ше 0} =
меньше 1} =
=
.
б) пусть ,10
в) пусть ,21
1X {один из стрелков попал} =
2X {попали в мишень оба} =
0 1 2
0,06 0,38 0,56
тогда событие
тогда событие
.0X
тогда событие
.10 XX
p
2
xX {число пробоин мень-
PxXPxF
XPxXPxF
38
p
3
;06,03,02,07,018,01
xF :
xX {число пробоин <2} =
;0
xX {число пробоин
.BA
BPAPBAPXPp
BA
;38,07,02,03,08,01
BAPBAPXPp
.BA
.56,07,08,02
;06,00
г) пусть ,2
x
x
x
F
=
Итак,
Строим график функции распределения
тогда событие
.210
XXX
.156,038,006,0
xF
XXPxXPxF
xX {число пробоин 2 } =
210
XXXPxXPxF
x
;0,0
x
;10,06,0
x
;21,44,0
x
.2,1
xF (рис. 2).
;44,038,006,010
0,44
0,06
0
Основные свойства функции распределения F(x):
1. Так как
;0lim
2.
xFx
xFx
.1lim
1
Рис. 2
,xXpxF
то
39
2
xF
.10
3.
P
A
A
X
x
X
Доказательство. Пусть
– неубывающая функция, т. е. если
xF
.12xFxF
xx (рис. 3).
12
то
,12xx
Рис. 3
xXxPxXP
x
211
2
.
Тогда
x
1
Так как ,0
функция, что и требовалось доказать.
4. Из формулы (6) вытекает следующее свойство
то
,12xFxF т. е.
т. е. вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта
попадет на участок от
функции распределения на этом участке.
2.3. Биномиальный закон распределения
Начнем с примера, который поможет понять суть биномиаль-
ного закона распределения.
Пример 2.3.1. Стрелок пять раз стреляет по мишени. Пусть
вероятность поражения мишени для каждого выстрела одинакова
и равна 0,7.
Введем случайную величину
Событие
Найдем следующие вероятности:
1) вероятность того, что мишень поражена все пять раз, т. е.
.5
{попадание},
x до 2x (вкючая 1x ), равна приращению
1
X – число попаданий в мишень.
{промах}.
xXxxXPxXPxF
21122
.
xXxPxFxF
(6)
2112
xF – неубывающая
:xF
,
xFxFxXxp
1221
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]