Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

5. Если положить в формуле P(





X) x



















получим функцию распределения нор-



По определению







xXpxXpxF



 











в точку

нормального закона



и учесть, что

мально распределенной случайной величины функции распределения



     

График функции распределения при нормальном законе мож-

но построить аналогично графику интеграла вероятностей сдвигая график интеграла вероятностей по оси а по оси y0 поднимая его вверх на 0,5.

График функции распределения

представлен на рис. 19.













 ,

,x ,ax

0,5

Рис. 19

Определение 3.6.2.

нормированным, если математическое ожидание ,0

квадратическое отклонение

Нормальное распределение называют

a а среднее

Для нормированной случайной величины плотность



























































 

Пример 3.6.1. Расстояние между населенными пунктами, по-

лученное в результате измерений, имеет нормальное распределение со средним значением 16 км и средним квадратическим отклонением 100 м = 0,1 км. Найти вероятность того, что расстояние между населенными пунктами не менее 15,75 км и не более 16,3 км.

Решение. Воспользуемся формулой



а функция распределения



xxF  где





– нормированная функция Лапласа.













xF имеет вид



dtXP





 

 























Пусть случайная величина

ми пунктами, ние ;1,0 75,15 км,





  

Пример 3.6.2. Ошибки измерения распределены нормально,

причем математическое ожидание равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 20 мм. Найти вероятность того, что из двух независимых измерений хотя бы в одном ошибка по модулю будет меньше 10 мм.

Решение. Пусть случайная величина



1. Найдем вероятность события ошибка по модулю меньше 10 мм}.

,0 aXM

















Значение



 





 X мм.







 



найдем по таблице (см. прил. 1).





aXM км, среднее квадратическое отклоне-

3,1675,15

 XP











– расстояние между населенны-

км. Тогда

3,16

1675,15

 





1,0

101010

 



 

000



















– ошибка измерения,

{в одном измерении



 XPXPAP







1675,15



1,0

.992,0494,0498,05,23

010





 

.38,019,02





 

010





 

 



2. Событие





























рений, ошибка по модулю меньше 10 мм}=



{хотя бы в одном из двух независимых изме-



.AAUAAAAAA 



Пример 3.6.3. Средняя температура в Москве в мае имеет

нормальное распределение со средним значением +22 °С и средним квадратическим отклонением

Вычислить вероятность того, что три года подряд средняя

температера будет меньше

Решение. Пусть случайная величина X – температура

в Москве в мае. Математическое ожидание

нее квадратическое отклонение

    





Значение

того, что три года подряд будет меньше почти нулевая.

Пример 3.6.4. Завод изготавливает шарики для подшипников.

Отклонение диаметра шарика от номинала имеет нормальное распределение со средним значением, равным 0, и средним квадратическим отклонением 0,01 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинала более чем на 0,025 мм. Определить процент годной продукции.

Решение. Случайная величина

рика от номинала. Продукция считается годной, если это отклонение будет меньше по модулю, чем 0,025 мм, т. е.













1818

.,,, 0920408050





.18

 FXPAP

нашли по таблице. Вероятность

33,1

XPXP

;62,038,01 AP

BP

.6156,062,01



Событие

2218

 





 



– отклонение диаметра ша-

025,0025,0025,0



.18XA Тогда







 т. е.











.025,0

,22о aXM сред-

,00085,0095,0

01,0

0025,0



 





000



.988,0494,025,22

0025,0





 

Значит, процент годной продукции равен 98,8.



01,0















Пример 3.6.5. Считается, что отклонение длины изготавлива-

































































емых стержней от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна 40 см, среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см, то какую точность длины стержня можно гарантировать с вероятностью 0,8?

Решение. Случайная величина



от стандарта с через По условию задачи дано, что

 отклонение длины изготавливаемого стержня от номинала.





aXM см и



– отклонение длины стержня



 X см. Обозначим



 XMXP





XMXPXMXP

4,0

.8,0



 





 









4,04,0

 x при ,3,1

 







 



Тогда



4,0

вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях

раз.

вероятность, не прибегая к формуле Бернулли. Оказывается, мож-

но. Ответ на этот вопрос нашел в 1730 году Муавр (при

а в 1783 году Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольных значений

Лапласа.







4,0



Из таблицы прил. 1 находим, что



В главе 2 была выведена формула Бернулли (7), позволяющая

Возникает вопрос, нельзя ли вычислить интересующую нас

Эта теорема называется интегральной теоремой Муавра –

Ниже приведем без доказательства интегральную теорему



aXM





.4,0



 

см. Значит, допустимая точность равна 0,52 см.

52,03,1

3.7. Интегральная теорема Лапласа

.10

XMXXMP



 











aXM







 

 













000

4,0

.8,0



т. е.

p

Теорема 3.7.1. Проводим n испытаний, в каждом из которых







































может появиться событие с вероятностью ,1 pq появится в

где

испытаниях от 1k до 2k раз, приближенно равна:



kkP



– функция Лапласа;

дание биномиального закона;

с вероятностью p или событие A

тогда вероятность того, что событие A



npq



npk



(10)

 



npq



npk

















XMnp

– математическое ожи-



XDnpq

– дисперсия.

 



021

 



Пример 3.7.1. По данным проверки качества выпускаемых

деталей определенного вида брак составляет 15 %. Определить вероятность того, что в партии из 450 деталей пригодных будет не менее 300.

Решение. Вероятность бракованной детали равна 0,15 (15 %),

тогда вероятность стандартной детали равна 85,015,01 

. Если

искать вероятность того, что пригодных деталей будет не менее 300, т. е. или 300, или 301, или … или 450, то по формуле Бернулли эта вероятность равнялась бы

150300300



450

450148302302

450



CCXP

450

...85,0...15,085,0

149301301

15,085,015,085,0450300



Счет невозможен.

При использовании формулы (10), если

– число пригодных

деталей, то



npq

 



00450







450300









300450

 



npq

 



n ;85,0

где ;450

 .57,7375,57 npq

p ;15,0

q ;5,38285,0450 np  5382,npq

;,, 37557150



5,382450



450300





 

 

57,7





5,382300







00450



.15,05,01,109,8







57,7



Пример 3.7.2. Исследуют 400 проб руды. Вероятность про-

мышленного содержания металла в каждой пробе для всех проб одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что число проб

с промышленным содержанием металла будет заключено между





















XM

























x











290 и 350.

Решение. Случайная величина

ным содержанием металла. ;400n

npq .864 npq

;, 32080  ;642,0320

– число проб с промышлен-

;8,0p

;2,0

400np

По интегральной теореме Лапласа



320350



350290



 XP

 

   









000

 



320290











.9980,0499,0275,3275,375,3

3.8. Основные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики

Сведем основные законы распределения и их числовые харак-

теристики в таблицу.

Наименование

закона

Биномиальный

Пуассона

Равномерный

Показательный

Нормальный

Возможные

значения

...,,2,1,0,

xp или



e





qpC



ab 

x







knkk

npq

ab 

npq

;

3.9. Предельные теоремы











1. Закон больших чисел

Теорема Чебышева. Если

– попарно независи-

XXX ...,,,

мые случайные величины, причем их дисперсии не превышают постоянного числа ,C то для любого сколь угодно малого положительного числа

вероятность неравенства

0

XXX



......

2121

XMXMXM



будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. Другими словами,

 

lim













 





 

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривать достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверно



1p можно считать событие, состоящее в том, что отклонение

среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым, т. е. среднее арифметическое до-

статочно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины (сходится по вероятности).

Эту и последующую

теоремы приводим без доказательства.

2. Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема касается вопроса возникновения нормального распределения для суммы случайных величин при неограниченном увеличении числа ее слагаемых.

XXX ,...,,

Пусть

– случайные величины, обладающие ма-

тематическим ожиданием и дисперсией.



Положим

и введем в рассмотрение величину







SMS





Такая случайная величина























XX

нормированной суммой случайных величин тическое ожидание

ZM дисперсия

называется центрированной и

матема-

,,...,,

XXX

21 n

Приведем формулировку центральной предельной теоремы

для случая одинаково распределенных случайных величин

XXX

21 n

Теорема. Пусть случайные величины

....,,,

XXX ...,,,

взаимно

независимы, одинаково распределены, имеют конечное математическое ожидание и дисперсию, не равную нулю. Тогда функция распределения нормированной и центрированной случайной вели-



SMSZ

чины





при

ления нормальной случайной величины с параметрами ,0

   

стремится к функции распреде-

n







dtxxZPxF





Эта теорема широко используется в математической статистике, так как выборочные случайные величины получены из одной и той же генеральной совокупности и имеют одинаковые распределения.

Примерные варианты контрольных работ

и домашних заданий

Вариант 1

1. Дана функция распределения случайной величины Х







 





 



 



;0,0



;

4 5

;



8 5

Найти: функцию плотности распределения вероятностей слу-



чайной величины ;

ану;

ли дана плотность распределения вероятностей этой случайной величины

чем систематические ошибки отсутствуют, а среднее квадратическое отклонение равно 20 мм. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений хотя бы одно имеет ошибку более 5 мм.

вероятность того, что среди 1200 клемм

ной величины ;

ли дана плотность распределения вероятностей этой случайной величины

 



2. Найти функцию распределения случайной величины ,

3. Случайные ошибки имеют нормальное распределение, при-

4. Среди металлических клемм 95 % стандартных. Определить

Вариант 2

1. Дана функция распределения случайной величины Х

Найти: функцию плотности распределения вероятностей случай-

2. Найти функцию распределения случайной величины ,

 XP

математическое ожидание; дисперсию; меди-



 















 











 

математическое ожидание; дисперсию; медиану.

 









 













не более 50 нестандартных.









;0,,



;,0,



aax

;0,0



.0,e1

;1,0,

;3,





.,31,0,0

.,00,,0

ес-

3. Ошибки операторов во время дежурства имеют нормальные





распределения с параметрами (4 м, 15 м) для первого оператора и (3 м, 10 м) для второго. Была допущена ошибка в 23 м. Какого оператора вероятнее подозревать в ее совершении?

4. Известно, что

фонных аппаратов выпускается первым сортом. Изготовленные аппараты расположены один возле другого случайным образом. Приемщик берет первые попавшие 200 штук. Чему равна вероятность того, что среди них аппаратов первого сорта окажется от 120 до 150 штук?

Вариант 3

1. Дана функция распределения случайной величины Х

Найти: функцию плотности распределения вероятностей случайной величины ; ану;

чайной величины

будет колебаться от 19,5 см до 20,5 см.

зоров установлено, что 60 % из них служат не менее гарантируемого срока. Определить вероятность того, что в партии из 500 кинескопов будет более 95 % кинескопов со сроком службы не гарантируемого.



2. Восстановить функцию распределения вероятностей слу-

3. Длина детали имеет нормальное распределение, причем

20a см, 2,0 см. Найти вероятность того, что длина детали

4. Проверкой качества изготовляемых кинескопов для телеви-

.32  XP





всего числа изготовленных заводом теле-



;0,0











169

 



математическое ожидание; дисперсию; меди-

по плотности распределения

 



 







 







;13,0,



.13,1





;4,7,





;0,4,



;0,e





.,00,44,7,0

менее

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]