Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

















































  







ABPAPBP (4)

Доказательство. Так как событие B происходит вместе с од-

ним из событий

Так как ,



...,,

A ,

…,

,2A

A …,

– несовместны.

ABAB

, то

....

21 n

A – события несовместные, то

ABABABB

Применяя к ним теорему 1.5.1 сложения вероятностей, а затем

теорему 1.7.1 умножения вероятностей, получим



ABPABPABPBP



ABPAPABPAPABPAP







...

 





ABPAP

...

2211

Теорема доказана.

Пример 1.9.2. На трех станках изготавливаются одинаковые

детали. Известно, что 30 % продукции производится на первом станке, 25 % – на втором и 45 % – на третьем станке. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99, на втором – 0,98 и на третьем – 0,97. Изготовленные на трех станках в течение дня детали поступают на склад. Определить вероятность того, что наудачу

взятая деталь со склада не соответ-

ствует стандарту (бракованная).

Решение

1. Введем следующие события: A {взятая деталь изготовлена на первом станке};

A {деталь изготовлена на втором станке};

{деталь изготовлена на третьем станке}.



Заметим, что

100

AP

;3,0



100



APAPAP

321

;25,0

AP



т. е. события ,

100

A ,

AP

.45,0

об-

разуют полную группу событий.

2. Пусть событие

{бракованная деталь}, тогда событие

B {деталь отвечает стандарту}, так как по условию

то

,99,01ABP

,98,02ABP то ,97,03ABP то



ABP

;01,0



;02,0

.03,0

3. Применяем формулу полной вероятности (3):

























 BABABAPBP









321



ABPAPABPAPABPAP

332211

.0215,003,045,002,025,001,03,0 

Пример 1.9.3. Число отличников, хорошистов и троечников

в группе находится в соотношении 2:6:5. Вероятность, что отличник сдаст экзамен, равна 0,9, хорошист сдаст экзамен с вероятностью 0,8, а троечник – с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что вошедший первым в аудиторию студент из этой группы сдаст экзамен.

Решение

1. Введем события:



A {в аудиторию первым вошел отличник};



A {в аудиторию первым вошел хорошист};

{в аудиторию первым вошел троечник}.





2. Событие

AP так как из 13 студентов 2 отличника.



AP

B {студент сдаст экзамен}.



ABP

;9,0



;8,02ABP



ABP

.5,0

3. По формуле полной вероятности

   



k

ABPAPBP

9,0

8,0

.7,05,0



Пример 1.9.4. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, во

второй – 10 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу вынутый из третьей урны, окажется белым.

Решение

1. Обозначим событие B {вынут белый шар}. В результате

данного испытания могут произойти следующие события:



A {из обеих урн достали по белому шару}, поэтому



AP



{из обеих урн достали по черному шару}, поэтому



A {из первой урны достали белый шар, а из второй – чер-

AP

ный шар}, поэтому



A {из первой урны достали черный шар, а из второй – бе-

AP

лый шар}, поэтому

AP

События ,

A ,



, 4A образуют полную группу событий

(сумма вероятностей равна единице).

2. В случае события

A {из обеих урн достали по белому

шару} в третьей урне оказалось 13 белых и 13 черных шаров, поэтому

ABP

В случае события



{из обеих урн достали по черному ша-

ру} в третьей урне оказалось 15 белых и 11 черных шаров, поэтому

ABP

В случае события



A {из первой урны достали белый шар,

а из второй – черный шар} в третьей урне оказалось 14 белых

и 12 черных шаров, поэтому

В случае события

A {из первой урны достали черный шар,



ABP

а из второй – белый шар} в третьей урне оказалось 14 белых

и 12 черных шаров, поэтому



ABP

3. По формуле полной вероятности



BP

.53,0

1.10. Формула Байеса (теорема гипотез)

Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса, или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез

принятых до опыта и называемых априорными по

,iA

результатам уже проведенного опыта, т. е. найти условные вероятности

Теорема 1.10.1 (формула Байеса).

образуют полную группу событий (попарно несовместны и в ре-

которые называют апостериорными.

,BAP

Пусть события ,

A ,

A …,

зультате каждого опыта происходит одно из них). Тогда условная вероятность события

изошло

, задается формулой

где

nkA

,1 при условии, что событие B про-

ABPAP

BAP

ABPAPABPAPBP 

– формула полной

вероятности.

Доказательство. В формуле (3)

заменим событие

на событие ,

A тогда

ABPAPBAPBP 

jjj

отсюда

ABPAP

Выражая

BAP

BP с помощью формулы полной вероятности (4), имеем

ABPAP

(5)

BAP

ABPAP

Пример 1.10.1. Рассмотрим урны с белыми и черными шара-

ми (пример 1.9.1):

в первой урне – 5 белых, 7 черных шаров; во второй урне – 3 белых, 3 черных шара; в третьей урне – 1 белый шар, 10 черных.

Выбираем наугад урну и вынем из нее шар. Он

оказался бе-

лым. Из какой урны он, вероятнее всего, вынут?

,ABPAPBAPBP

Решение





При решении воспользуемся формулой Байеса (5), но для этого нам понадобится формула полной вероятности, которую мы получили в примере 1.9.1:

133



А теперь по формуле Байеса (5) определим вероятность того, что белый шар вынут из первой урны:



ABPAP



BAP



нут из второй урны.



нут из третьей урны.

Сравниваем полученные вероятности. Наиболее вероятно, что белый шар извлечен из второй урны.

Замечание 1.10.1. Формулу Байеса следует применять в тех

задачах, где в конце условия сообщается, что событие

изошло

условие: некто на складе взял деталь, она

товлена на первом станке.

ли (событие

Пример 1.10.2. Так, в примере 1.9.2 в конце задачи добавим

Найдем (по формуле Байеса) вероятность того, что она изго-

Решение

Найдем вероятность поступления на склад бракованной дета-

Теперь можно найти искомую вероятность:







BAP – вероятность того, что белый шар вы-

133

396



BAP – вероятность того, что белый шар вы-

133

396

В – п. 3 примера 1.9.2):





213

496,0



09,0



213



BP



213

оказалась бракованной.

396



131

133

396

.4,0



B уже про-

.0215,003,045,002,025,001,03,0

01,03,0









































ABA

BAC

















вместо первоначальной

Пример 1.10.3. Расследуются причины неудачного пуска аг-

регата, о котором можно высказать четыре предположения (гипоте-

A ,

зы): ,

По данным статистики,



изошел отказ в блоке питания (событие

Условные вероятности события

дующие: Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

Решение

Ищем по формуле полной вероятности (4) вероятность собы-



тия

{отказ в блоке питания}:

Согласно формуле Байеса,

BAP



A .

.1,04AP В ходе расследования обнаружено, что при пуске про-



ABP ;

 BABABABAPBP

9,0



Из четырех вероятностей выбираем наибольшую. Наиболее

вероятна гипотеза

Отметим, что в таких задачах не обязательно считать вероятность до последней цифры. Достаточно сравнить четыре дроби с одинаковыми знаменателями и выбрать ту, где больший числитель.

Пример 1.10.4. По каналу связи может быть передана одна из

трех последовательностей букв: что вероятности каждой из последовательностей равны соответ-

ственно 0,3; 0,4; 0,3. Из-за шумов буква принимается правильно





.3,01AP

2,01AP ;

B ).

B согласно той же статистике сле-



02ABP ;



 



18,0

9,02,0



BAP

27,0



BAP

BAP



4,00



27,0



27,0



27,0

AAA

27,0



2,03,0



3,01,0



03,045,002,025,001,03,0

ABP



;

BBB

003,0

0215,0

AP ;



4,0

;

2,0

4321

.27,03,01,02,03,004,09,02,0

;

CCC

14,0



AP ;

ABP

3,0



.3,0



известно,

;

с вероятностью 0,6. Вероятности приема переданной группы за две





















другие равны: 0,2 и 0,2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что передана последовательность букв ,

лучено

Решение

1. Ищем вероятность получения сигнала Событие

т. е. первое

;

вместо третьего A пришла буква ;C четвертое A не исказилось,

или послали ,

рой, искажены, жены все буквы, кроме третьей}.

ABCFP

BCA



ABCA {или послали ,

не исказилось; второе A исказилось, и пришла буква

BBB а получили ,

или послали ,CCC



AAA если на приемном устройстве по-

BCA

AAA а получили – ,

BCA т. е. три буквы, кроме вто-

а получили ,



.00768,02,06,02,02,03,0

BCA т. е. иска-

BCA

2,02,06,02,04,06,02,02,06,03,0





2. Ищем вероятность того, что послали , :

BCA



Замечание 1.10.2. Последний пример показывает, что при ре-

шении задач по теории вероятностей следует очень внимательно читать условие, выявить главное, а только потом применять формулы.

Примерные варианты контрольных работ и домашних заданий

Вариант 1

1. Техническое устройство состоит из двух блоков первого

типа и двух блоков второго типа. Пусть способность способность

устройства (событие один блок первого типа и оба блока второго типа. Найти множество элементарных исходов. Выразить событие в поле событий через элементарные исходы и непосредственно через события

B ,

B 1C и .

i-го блока первого типа, а событие

i-го блока второго типа. Для нормальной работы

ABCAAAAAP

00768,0

A) необходимо, чтобы работали хотя бы

AAA если получили

00432,0

6,02,02,06,03,0



00768,0





означает работо-

2,1

.56,0

– работо-

2,1iC

2. У сборщика имеется 10 деталей, среди которых 3 нестандартных. Наудачу сборщик выбирает для работы 6 деталей. Какова вероятность того, что среди этих шести деталей будет: а) хотя бы одна нестандартная; б) три нестандартных?

3. Три завода производят однотипные изделия в количественном соотношении 5:3:1 и поставляют свою продукцию на распределительную базу. Среди изделий

первого завода 10 % составляют детали высшего качества, среди изделий второго завода – 20 %, третьего – 50 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое с базы изделие – высшего качества.

Вариант 2

1. Монету бросают пять раз. Известно, что три раза из пяти монета упала гербом вверх. Построить множество элементарных исходов данного опыта.

2. Техническое устройство состоит из четырех блоков. Надежности блоков (вероятности безотказной работы в течение времени

Т) равны соответственно 0,8; 0,75; 0,9; 0,99. Работоспособ-

ность каждого из блоков не зависит от состояния других блоков. Найти вероятность безотказной работы устройства в течение вре-

Т, если для этого достаточно, чтобы в течение времени Т без-

мени отказно работали по крайней мере три блока.

3. Подразделение состоит из четырех человек: одного сержанта и трех рядовых. Вероятность попасть в цель для сержанта равна 0,8; для рядового – 0,2. Из четырех человек наудачу выбираются двое, которые стреляют в цель. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если для поражения цели

достаточно одного попа-

дания.

Вариант 3

1. Спортсмен стреляет по цели до первого попадания, но не более пяти раз (по числу патронов). Событие

А соответствует попа-

данию в цель при одном выстреле. Найти множество элементарных исходов данного опыта и множество элементарных исходов при условии, что первые три раза он в цель не попал.

2. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность следующих событий: очков кратно трем},

С = {число очков четно}, D = {число очков

А = {число очков равно 6}, В = {число

меньше 5}.

3. На трех автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что 30 % продукции производится первым станком, 25 % – вторым и 45 % – третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99, на втором – 0,98 и на третьем – 0,97. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь

не соот-

ветствует стандарту.

Вариант 4

1. Событие А произойдет, если произойдет событие В и хотя бы одно из трех событий: ,

ных исходов. Выразить событие элементарные исходы, так и непосредственно через события

.3C

C ,

C .

C Найти множество элементар-

А как через соответствующие ему

В, ,1C

2. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы, равны 0,9, на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) по крайней мере, на два вопроса билета.

3. В урне лежит шар неизвестного

цвета: с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?









































Глава 2. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

2.1. Определение дискретной случайной величины.

Ряд распределения случайной величины

Пример 2.1.1. Проводится испытание, состоящее в подбрасы-

вании трех монет. В результате опыта могут появиться три герба, три цифры, два герба и одна цифра, один герб и две цифры, т. е. герб может появиться три раза, ноль раз, два раза и один раз. Эти значения (0, 1, 2, 3) будем трактовать как значения некоторой случайной

брасывании трех монет, но теперь это игра на деньги. Пусть при выпадении герба выигрыш составляет 100 р., при выпадении цифры – проигрыш 100 р., т. е. (–100) р. Очевидно, что выигрыш есть величина случайная, принимающая значения: –300 (выпали три цифры); –100 (выпали две цифры и один герб); 100 (выпали два герба и одна цифра); 300 (выпали три герба).

ний есть случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.

зультате опыта со случайными исходами принимает то или иное значение.

буквами ,

функция, определенная на множестве элементарных исходов и принимающая действительные значения.

кретной

занумеровать натуральными числами, при этом принятие случайной величиной

событием с вероятностью

дят в таблицу. В верхней строке перечислены все возможные зна-

величины (числа появления герба).

Пример 2.1.2. Проводим это же испытание, состоящее в под-

Пример 2.1.3. Производится пять выстрелов. Число попада-

Под случайной величиной понимается величина, которая в ре-

Будем обозначать случайные величины большими латинскими

,Y …, а их значения маленькими латинскими буквами.

Определение 2.1.1. Случайной величиной

Определение 2.1.2.

(прерывной), если все ее значения ,

ее значения

Определение 2.1.3. Все значения случайной величины

Случайная величина X называется дис-

x ,



...,2,1k является случайным

pxXP 

называется

x …,

можно

сво-

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]