Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2.6. Математическое ожидание дискретной случайной









величины

Определение 2.6.1. Математическим ожиданием дискрет-

ной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Математическое ожидание обозначается



XM или



XE – от

английского слова Expected value (математическое ожидание).

Если ряд распределения случайной величины

имеет вид

…

тогда математическое ожидание









pxXM

Пример 2.6.1. Случайная величина

имеет следующий ряд

распределения:

Х Р

0 1 2 3

0,4 0,1

0,2

чины

Найти

и математическое ожидание

случайной вели-

Решение

Так как сумма вероятностей должна равняться 1, то



,3,02,01,04,01

следовательно,





pxXM





.3,12,033,021,014,00

Замечание 2.6.1. Из определения математического ожидания



XM следует, что математическое ожидание случайной величины

есть величина неслучайная (постоянная).

Замечание 2.6.2. Происхождение термина «математическое

ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI–XVII вв.), когда область ее применения ограни-

чивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение

























































ожидаемого выигрыша (или математическое ожидание выигрыша).

Пример 2.6.2. Пусть случайная величина

– выигрыш в некоторой азартной игре. Если ряд распределения случайной величины

имеет вид

–500 –200 0 100 1000

0,2 0,3 0,1 0,3 0,1

то математическое ожидание



XM



.301,010003,01001,003,02002,0500

Рассмотрим

1. Если случайная величина ,C

чина, то

свойства математического ожидания:

 где C постоянная вели-

.CCM 

Доказательство









CCpCCpCM

Если

постоянная величина, то





.XCMCXM

Доказательство

 







kkkk

XCMpxCpCxCXM

3. Если

Y случайные величины, заданные на одном

и том же пространстве элементарных исходов, тогда, если существуют математические ожидания



XM и



,YM

.YMXMYXM 



Доказательство

Так как дискретная случайная величина Y

чения

yx  с вероятностями



nim

 

 

11 11







111111

mjn



pypx

ijjiji

 то

ijiij

принимает зна,,

yYxXPp

jiij



pypxpyxYXM





































Но

ность того, что велична

p представляет собой не что иное, как полную вероят-



примет значение









pxXPp

iiij

следовательно,



XMpxpx





111



Аналогично докажем, что

mjn





YMpy



ijj

Таким образом,



.YMXMYXM

Свойство 3 распространяется на произвольное конечное число

слагаемых.

ные величины, а случайные величины



YMCXMCYCXCM

2121

где 

CC и постоян-

и Y заданы на одном

и том же пространстве элементарных исходов.

Доказательство следует из свойств 2 и 3.



XMXM

Доказательство. Так как



XM – постоянная величина, то по

свойству 1



,XMXMM

а по свойству 3



.0

XMXMXMMXMXMXM

6. Если случайные величины

и ,Y заданные на одном и том

же пространстве элементарных исходов, независимы, т. е.

для всех

x и ,

y тогда





.YMXMXYM



yYPxXPyYxXP  ,

jkjk

Это свойство оставим без доказательства.

Замечание 2.6.3. Отметим, что математическое ожидание

называют также средним значением случайной величины ,

около

которого группируются все ее значения.

2.7. Дисперсия случайной величины































































































На практике часто требуется оценить рассеяние (дисперсию) возможных значений случайной величины значения

Из свойства 5 математического ожидания (разд. 2.6)

личины что разность цательные значения. В силу этого следует либо рассматривать модуль этой разности

квадрата отклонения, т. е.

Дисперсия обозначается слова Variance (дисперсия).

Определение 2.7.1. Дисперсией случайной величины X назы-

вается величина

Свойства дисперсии:

1. Если случайная величина ,C



то

Доказательство. Так как

ского ожидания), то

2. Дисперсия

Оба множителя под знаком суммы неотрицательны.

Доказательство. Используем свойство 2 математического

ожидания:

 

4. Если

на одном и том же пространстве элементарных исходов, то

.XM



от ее математического ожидания



,0 XMXM т. е. среднее значение отклонения случайной ве-



XMX  принимает как положительные, так и отри-



либо вычислять среднее значение

,XMX



XMX 



XD или



.0CD



0

CMC





,0XD так как по определению

 



XDCCXD  где

,XCMCXM

– постоянная величина.

тогда



XMXMXD 

 где С – постоянная,



CCM  (свойство 1 математиче-















независимые случайные величины, заданные





вокруг ее среднего

равно 0, потому



XVar – от английского



.00

 MCMCMCD







pXMxXMXMXD



XCMCXMCXMCXMCXD





.YDXDYXD 





XDCXMXMCXMXCM

Доказательство. Воспользуемся при доказательстве свой-































































ствами 3 и 2 математического ожидания ( и



XCMCXM





YXMYXMYXD

YMXMYXM 



2 YMYMYMXMYXMYXMXYM



мула

   

           



 

5. Для вычисления дисперсии на практике применяется фор-

 

 

XMXM

2 YMYYMYXMXXMXM





  



YDXDYD

YDXD



Доказательство. По свойствам 3 и 2 математического ожи-

дания имеем:



  

Дисперсия личины , но, чтобы оценка разброса имела размерность случайной величины,

используют еще одну числовую характеристику – среднее квадратическое отклонение.

Определение 2.7.2. Средним квадратическим отклонением

или стандартным отклонением случайной величины квадратный корень из ее дисперсии:

что в сравнительных целях неудобно. Когда желатель-



 

 



XD имеет размерность квадрата случайной ве-



XMXMXMXM



YMXMYMXMYMXMYMXM



XMXMXD 

22222



XMXMXMXMXM



XMMXXMMXM









.XDX 

YMYXMXMYMXMYXM





YMXMMXMYMYMXMXYMXD







XMXXMXMXMXMXD



является





Пример 2.7.1. Пусть случайная величина































































AAA

























щим рядом распределения:

1 2 5

Р 0,3 0,5 0,2

Найти дисперсию



.X

Решение

По определению



XMX 

:XM

найдем

Составим ряд распределения случайной величины

Р 0,3 0,5 0,2

и затем найдем ее математическое ожидание:



При нахождении дисперсии по формуле



следует составить ряд распределения для случайной ве-

XM2

личины

и найти ее математическое ожидание.

Р 0,3 0,5 0,2



Среднее квадратическое отклонение:

и среднее квадратическое отклонение





3,21 









XMXMXD 



3,22 

.01,22,029,75,009,03,069,1



задана следую-

, поэтому сначала

.3,22,055,023,01

3,25 

2222



,3,72,0255,043,01

XM

.01,229,53,73,23,7

 XMXMXD

.45,101,2  XDX



XMX 

2,07,25,03,03,03,1

 XMXMXD

2XMXD

2.8. Математическое ожидание и дисперсия случайной







































величины

Х, распределенной по биномиальному закону

Теорема 2.8.1. Если случайная величина

биномиальному закону, то



,npXM

распределена по

.npqXD

Доказательство

Проводим n испытаний в одинаковых условиях. При каждом испытании может произойти событие

бытие

с вероятностью .1 pq

1. Пусть случайная величина

с вероятностью p или со-

X – число появлений события

при первом испытании. Случайная величина принимает два зна-

чения: 1 (событие произошло событие

Ряд распределения случайной величины

появилось) и 0 (событие A не появилось, т. е.

X имеет вид

0 1

.10 ppqXM

следовательно,

Для нахождения дисперсии

ния случайной величины



XD построим ряд распределе-

Тогда

.10

ppqXM 

По формуле нахождения дисперсии (свойство 5 разд. 2.7):



2. Пусть случайная величина

X – число появлений события



pqppppXMXMXD 

во втором испытании. Ряд распределения этой случайной вели-

чины такой же, как и

X :

0 1

Тогда



























Аналогично вычисляются математические ожидания и дис-

персии для случайных величин: в третьем испытании; …; испытании. Общее число появлений события

ниях складывается из числа появлений события тании, т. е. если то

По свойству 3 математического ожидания и свойству 4 дис-

персии получаем:

    

Теорема доказана.

Пример 2.8.1. Вероятность изготовления стандартной детали

равна 0,95. Изготовлена партия в 200 деталей. Случайная величина

– число бракованных деталей. Найти математическое ожидание

и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Случайная величина

альному закону. Вероятность того, что деталь бракованная,



Пример 2.8.2. Вероятность выигрыша по одному билету

книжной лотереи равна 0,2. Какова вероятность того, что из шести купленных билетов два окажутся выигрышными? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины игрышных билетов среди шести купленных.

Решение. Случайная величина

альному закону, поэтому вероятность выиграть по двум билетам из шести (формула (7))





21 n

 npqXD

,2pXM

– число появлений события A в n испытаниях,

XXXX

npppp



,05,095,01 p стандартная – .95,0q

 npXM





.2pqXD 

– число появлений события A

X – число появлений события

....

,...

....

npqpqpqpq

,1005,0200

422

8,02,02

662



 CPp

.246,04096,004,015

во всех n испыта-

в каждом испы-

......

2121

......

2121

распределена по биноми-

.5,995,005,0200 

распределена по биноми-

!4!2



4096,004,0

XMXMXMXXXMXM

XDXDXDXXXDXD





X – числа вы-



в n-м





Математическое ожидание











Дисперсия

Примерные варианты контрольных работ и домашних заданий

Вариант 1

1. Обрыв связи произошел на одном из пяти звеньев телефонного кабеля. Мастер последовательно проверяет звенья цепи, пока не обнаружит места обрыва.

Составить закон распределения числа проверенных мастером звеньев, если вероятность обрыва связи одинакова для всех звеньев. Написать функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

2. Вероятность выигрыша по действия равна 0,25. Найти вероятность того, что, купив 8 облигаций, вы выиграете по 6 из них.

3. Вероятность того, что в некотором автопарке одна машина попадет в аварию в течение месяца, равна 0,001. В автопарке имеется 300 автомашин. Найти вероятность того, что в течение месяца попадут в аварию

Вариант 2

1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов, вероятности безотказной работы которых за время Т соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9.

Составить закон распределения случайной величины

{число элементов, исправно проработавших в течение времени Т}.



Написать функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

2. В магазин вошли 12 покупателей. Найти вероятность того, что 4 из них что-нибудь купят, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего покупателя одна и та же и равна 0,2.

3. Торговая база получила 10 000 Вероятность повреждений электрических лампочек в пути равна 0,0001. Определить вероятность того, что в пути будут повреждены четыре лампочки.



npqXD

не более трех из них.



npXM

.96,08,02,06

облигации займа за все время его

электрических лампочек.

.2,12,06

Вариант 3

1. В первой коробке лежат 3 хорошие и 2 бракованные детали, во второй – 4 хорошие и 1 бракованная, а в третьей – 2 хорошие и 3 бракованные детали. Для контроля из каждой коробки наугад берут по одной детали.

Составить закон распределения числа бракованных деталей среди отобранных, написать функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

2. Вероятность

того, что пассажир опоздает к отправлению

поезда, равна 0,02. Найти вероятность того, что из десяти пассажиров, купивших билет на поезд, будет не менее двух опоздавших.

3. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр будет сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

Вариант 4

1. Производится четыре независимых выстрела в одинаковых условиях по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,25.

Найти закон распределения для числа попаданий в цель. Написать функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

2. Из партии, состоящей из 100 деталей, среди которых

10 бракованных, случайно извлекаются 10 изделий для проверки их

качества. Какова вероятность того, что при этом обнаружат не более двух бракованных изделий?

3. В среднем левши составляют 1 %. Определить вероятность того, что среди 200 студентов факультета хотя бы один окажется левшой.

Вариант 5

1. Вероятность обнаружить малоразмерный объект в заданном районе при каждом вылете самолета-наблюдателя равна

Составить закон распределения случайного числа произведенных независимых вылетов, если они выполняются до первого обнаружения объекта. Написать функцию распределения этой случай-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]