Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие-1
.pdf
5. Дисперсия:
X
1
ab
a
b
3
3
2
323
2
4
b
a
ababx
ab
1
222
xXMdxxfxXD
dx
ab
baba
2
4
222222
2
2
ab
2
2233
2
bababababaaabb
.
1212
6. Среднее квадратическое отклонение:
2
XDX
12
abab
.
32
Замечание. В первом же примере 3.1.1 была введена случай-
ная величина
– время ожидания поезда в метро в утренние часы
с интервалом в две минуты. Эта случайная величина имеет равномерное распределение.
Например, если
X , то функция распределения
2;0
xF
имеет вид
;0,0
xF
Тогда плотность распределения вероятностей
x
x
x
;20,
2
x
.2,1
;0,0
x
1
xf
2
x
x
.2,0
Математическое ожидание:
2
1
dxxdxxxfXM т. е. среднее значение вре-
2
0
2
2
1
x
22
,1
0
мени до прихода поезда – одна минута. Вероятность ожидания по-
езда меньше одной минуты
1
11 FXP
.
2
;20,
81
3.4. Показательный закон распределения
X
x
x
x
A
x
Определение 3.4.1. Показательным (экспоненциальным)
называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины ,
– положительная постоянная величина.
где
которая имеет плотность распределения:
;0,0
xf
x
x
,0,e
x
1. График функции плотности представлен на рис. 14.
xf
0
Рис. 14
2. Функция распределения показательного закона распределе-
x
ния
если
a
б) если
3. График функции распределения
:
dttfxF
то
,0
то
,0
x
11
0
0
xx
.ee
xF
x
82
xdtxF ;00
t
x
x
tddtdtdttfxF
00
;0,0
x
.0,e1
x
xF представлен на рис. 15.
x
tt
eee
0
x
xF
1
0
Рис. 15
4. Математическое ожидание:
A
x
A
0
A
lim
A
lim
x
A
e
При нахождении
0
dxdUxU
,
A
1
0elim
1
A
A
lim воспользуемся правилом Лопита-
AA
e
0
A
x
0
A
xA
0
0
e0
A
eelimelim
0
xdA
limee
A
e
x
dxxdxxdxxfxXM
xddxVdV
x
dxxdxx
lime
A
AA
1
x
xxxx
eeee
A
1
x
e
A
x
e
0
.
ля: возьмем производную по A отдельно в числителе и знаменателе
дроби:
Таким образом,
A
A
A
1
XM
lim
.
e
lim
A
e
1
1
A
.0
5. Дисперсия
2
0
83
2
.
XMdxxfxXD
x
x
x
x
x
y
Интеграл
2
0
и воспользуемся тем, что
lim
A
0
2
A
e
x
2
dxxdxxfx
e возьмем по частям дважды
1
lim
AA
e
2
lim
A
AA
e
,
0
lim
A
A
A
lim
AA
e
2
2
A
e
и аналогично
0
.0
Получим:
0
2
A
lim
A
x
dxx
e
A
2
0
2
A
x
e
1
2lim
A
lim
A
2
2
2
x
A
A
x
dxx
e
2
0
dxdUxU
,
A
1
x
e
A
0
2
0
ee
2
xdxdUxU
2
A
0
,
2
dxVdxdV
A
x
0
A
eelimelim
0
xddxVdxdV
x
dxx
2
A
lime
A
A
e
xxx
eee
x
xdxxdxx
2
11
eeee
2
0
2
.
xxxx
A
x
e
0
И окончательно
XMXD
2
2
1122
.
222
3.5. Интеграл вероятностей (или функция Лапласа)
Определение 3.5.1. Функцией Лапласа (интегралом вероятно-
стей или нормированной функцией Лапласа) называется специальная функция
84
2
x
x
x
y
t
x
Основные свойства
0
x
Φ
0
1
2
2
.e
dtx
0
Приведем основные свойства
1. Рассмотрим подынтегральную функцию
функции Лапласа.
2
x
xy Оче-
2
.e
видно, что эта функция четная и ее график симметричен относительно оси .0y
2
x
Найдем производную:
0xy при
xy при 0x, следовательно,
При
Заметим, что
, следовательно,
0
0
имеет точку максимума
0
x
2
x
2
limelim 0
x
2
xxy
xy возрастает.
xy убывает.
1
2
x
2
e
;e
xy при ;0x
0
,
т. е. 0
.1e0
y
y – горизон-
0
тальная асимптота.
2
x
График функции
xy представлен на рис. 16.
2
e
0
Рис. 16
2
x
0
2.
0
1
0
2
2
.0e
dx
0
85
3. Функция
zt
xzx
x
x
x
x
,
– нечетная, т. е.
x
0
.00xx
Доказательство
2
t
x
0
1
2
Сделаем замену переменной:
2
.e dtx
0
zt , при 00
t .
22
z
x
2
0
Тогда
4.
0
1
;
2
z
x
1
2
00
2
0
1
.
2
1
2
Доказательство. Отметим, что неопределенный интеграл
2
t
2
dt
e не выражается через элементарные функции (т. е. «небе-
рущийся»). Определенный интеграл вида
1
2
2
t
2
dt
1e
– это ин-
теграл Эйлера – Пуассона.
2
t
Так как
2
1
2
dtt
2
2
0
Следовательно,
2
– четная функция, то
e
.e1
dt
0
В силу нечетности функции Лапласа
2
t
1
e
2
0
1
2
.
2
0
1
e
2
1
.
2
Это свойство (свойство 4) показывает, что функция
имеет две горизонтальные асимптоты:
1
при
y
и
2
при
5. Функция
.
– возрастающая на всей вещественной оси.
x
0
; при
0
2
t
2
.ee xzdzdx
dt
x
0
1
y
2
86
Доказательство. Найдем производную от
x
x
2
t
x
1
2
2
.e
dt
0
0
x
По теореме Барроу производная от интеграла с переменным
верхним пределом равна подынтегральной функции, вычисленной
в точке дифференцирования:
22
t
x
0
2
dtx
x
0
1
2
Эта функция положительная при любом
x
– возрастающая функция.
0
6. Найдем вторую производную –
2
x
1
0
0
x
0
00
x
xx , и
0
2
при
при
00
2
.e
xx
.0
, значит,
0
x
– выпуклая вверх.
0
0
– выпуклая вниз, при
x
0
x
1
2
2
x
.ee
x значит,
,,
:
Все перечисленные свойства позволяют построить график
функции Лапласа (рис. 17).
Ф
x
0
0,5
0
5,0
Рис. 17
87
3.6. Нормальное распределение
X
x
x
x
x
x
Нормальный закон распределения (или закон Гаусса) играет
исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает
среди законов распределения особое положение.
Определение 3.6.1. Говорят, что случайная величина
пределена по нормальному закону
с параметрами a и , если ее
рас-
функция плотности имеет вид
2
ax
2
2
,e
где
; ,0 если использовать удобный способ записи
a
показательной функции
1
xf
2
x
x
expe , чтобы избежать многоэтажных
формул, вид
2
2
.
2
axxf
1
2
exp
Как будет показано ниже, параметры a и
которыми опре-
,
деляется нормальное распределение, являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением
нормального распределения.
2
x
1. В разд. 3.5 был построен график функции
фик плотности нормального распределения
аналогичным образом, он смещен по оси
максимума имеет координаты ,a
0
af
xy Гра-
xf (рис. 18) строится
в точку ,a
1
.
2
.e
а точка
2
Эта кривая распределения называется
(кривой Гаусса)
.
нормальной кривой
2. Найдем математическое ожидание нормального закона распределения.
1
dx
2
exp
xdxxxfXM
2
ax
2
2
.
88
x
x
xf
1
2
1
e
2
0
a
Рис. 18
a
a
Введем новую переменную
Тогда
,ta
,dtdx
axt
пределы интегрирования остаются
.
те же.
2
a
2
1
2
e
exp
xXM
2
В первом слагаемом интеграл
лера
Пуассона), а во втором слагаемом интеграл
–
ax
2
2
22
tt
22
2
.e
adttdt
1
e
2
1
2
2
t
2
(интеграл Эй-
1
dt
t
2
e
dttadx
2
2
2
dttt
e
равен 0, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. Значит,
.aXM
3. Дисперсия нормального закона распределения:
89
X
x
X
x
x
,
t
где
1
2
1
2
2
ax
.
2
exp
axXD
2
2
exp
2
ax
dx
2
2
axax
2
2
2
ax
d
2
2
Если взять этот интеграл по частям, то получим
4. Вычислим для нормально распределенной случайной величины
X вероятность попадания на участок от
до .
Применяя свойство 2 (разд. 3.1) плотности распределения, по-
лучим:
1
2
exp
dxxfXP
ax
2
2
1
2
2
d
exp
1
2
2
ax
dx
2
2
exp
2
axax
2
2
2
t
2
2
,e
dtt
.2XD
ax
d
.
Положим в последнем интеграле
тегрирования станут при
axt
a
tx а при
тогда пределы ин-
,
,
a
tx
и
a
2
t
где
1
2
– функция Лапласа.
x
0
2
dtXP
a
aa
00
,e
Наряду с нормированной функцией Лапласа используют
2
t
x
функцию
1
2
са; она связана с функцией
2
называемую также функцией Лапла-
,e
dtx
Ф
0
формулой
x
.Ф5,0Ф
xx
0
В большинстве учебников по теории вероятностей имеются таб-
x
90
Ф и
0
лицы приближенных значений функций
xФ (см. прил. 1).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]