Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Учебное пособие-1
.pdf
x
x
x
;
,0,
2
3
;
,
2
2
3
.
,0,0
2
xf
sin
x
3
2
,
3
x
x
Найти функцию распределения
xF и построить ее график.
Решение. Начнем с построения графика плотности (рис. 9).
xf
1
3
0
2
Рис. 9
3
2
Значит, функция плотности
xf задана на четырех проме-
жутках следующим образом:
;0,0
71
x
x
x
x
;2,0,
3
;
,
2
2
3
.
2
.xF
xx
.00
dtdttfxF
sin
x
3
xf
2
,
3
,0
Ищем функцию распределения
1. Пусть ,0
тогда
2. Пусть ,
X
x
3. Пусть
1
3
4. Пусть
1
3
Ответ:
Заметим, что
0 x тогда
2
cos
1
3
tdt
cos
3
x
0
2
3
0
2
.
xxx
0
1
3
x
2
cos
2
3
2
0cos
тогда
,
0
0
dtdttfxF
0
2
xx
sin
t
dtdttfxF
0
3
0
1
1
1
3
.coscoscos
xx
3
2
sin
3
0
xx
t
23
2
3
2
1
3
1
3
2
3
3
,
x тогда
2
3
0
3
2
3
22
2
0
sin
dtdttfxF
1
3
3
0
2
.1
3
2
t
2
3
2
xx
0
3
2
2
1
3
3
;0,0
x
0,cos1
;
xx
2
2
x
3
;
xx
2
3
.
2
xF
1
3
2
,
3
,1
xF непрерывна (рис. 10).
x
2
ttdtdt
2
3
2
tdtdtdt
2
72
X
x
xF
1
3
2
Рис. 10
3
2
3.2. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной
случайной величины
Определение 3.2.1. Математическим ожиданием непре-
рывной случайной величины Х c плотностью распределения вероятности
xf называется число, определяемое равенством
,dxxxfXM
при условии, что интеграл абсолютно сходится.
Определение 3.2.2. Дисперсией непрерывной случайной вели-
чины
называют математическое ожидание квадрата отклонения
случайной величины от ее математического ожидания.
.2dxxfXMxXD
Определение 3.2.3. Среднее квадратическое отклонение не-
прерывной случайной величины
X определяется равенством
.XDX
Замечание 3.2.1. Можно показать, что все свойства математи-
ческого ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин.
Замечание 3.2.2. Для вычисления дисперсии можно получить
более удобную формулу:
73
x
2
2
22
.
XMdxxfx
2
22
22
12
XMXMXMdxxfx
22
dxxfXMdxxxfXMdxxfx
Пример 3.2.1. Дана функция распределения случайной вели-
чины Х
;0,0
x
1
0,
;
xx
4
1
,
4
5
;
xx
8
5
.
x
8
xF
1
2
4
,1
Найти: функцию плотности
1
дисперсию;
XP
8
3
.
8
xf ; математическое ожидание;
Решение
1. Ищем плотность распределения
0,1
xf
1
,2
4
,0
x
x
x
5
x
8
;0,0
1
;
4
5
;
8
.
:xFxf
График плотности распределения представлен на рис. 11.
dxxfXMXxMxdxxfXMxXD
74
x
xf
2
1
0
1
4
Рис. 11
2. Математическое ожидание
Так как функция плотности
то разобьем интеграл на четыре:
0
1
2
4
2
0
5
2
8
xx
2
2
1
4
3. Дисперсия
4.
1
0
2
1
3
4
3
0
1
8
4
0
5
3
8
xx
2
3
1
4
3
FFXP
8
1
32
2
23
64
5
8
22
XMdxxfxXD
5
8
2
1
4
3
8
xf задана на четырех промежутках,
1
4
0
2
16
5
8
dxxxfXM
5
8
1
4
23
1
.
64
.
0210
dxxdxxdxxdxxdxxxfXM
5
8
2
dxxdxxdxxdxx
0210
5
8
5
2
1
3
643
64
8
2
23
1
64
232
12288
349
23
64
1
.
8
75
.
3
x
x
Значение функции распределения
что
а
F
чины Х
ожидание; дисперсию;
непрерывна, при подходе слева к точке a
а при подходе справа к точке
1
находим из условия, что
F
8
1
1
8
.
8
Значит,
Пример 3.2.2. Дана функция распределения случайной вели-
Найти: параметр ;a функцию плотности
Решение
1. При нахождении параметра a следует помнить, что
Значит,
2. Найдем функцию плотности
1
2 xxF если
,
4
1
8
a а так как ,1
1
4
3
XP
8
xF
1
3
,1sin
xf
5
x ; тогда
8
1
1
8
2
XP
a
функция
sin то .
,0
F находим из условия,
8
3
2
8
0 x
;xf математическое
.1
1
2
:xFxf
3
.
8
x
.3
функция
2
x
0,cos
xx
x
;0,0
axx
.,1
ax
1
2
3
F
8
если
,xxF
;;0,sin
xF
a
;0,0
1
;
2
.
1
4
1
4
2
4
т. е.
,
1
2
xF
,
,sin xxF
76
3. При нахождении математического ожидания (и дисперсии)
разобьем интеграл
dxxxfXM
2
dxxfXMxXD
на три интеграла, так как плотность задана на трех промежутках.
Два интеграла: от
до 0 и от
1
до
– будут равны 0, так
2
0
как плотность на этих интервалах
xf .
Тогда
1
2
.cos
0
xdxxdxxfxXM
Последний интеграл вычислим по формуле интегрирования по частям.
Обозначим:
,dxdUxU
.sincoscoscos xxxdxVxdV
Найденные выражения подставим в формулу интегрирования
b
b
a
a
1
cos
.
VdUUVUdV
1
2
1
2
sinsincos
xdxxxxdxxXM
0
0
1
2
x
0
1
2
2
0
1
1
cos
2
2
2
XMxdxxXD
1
1
0cos
Интеграл в по-
.cos
.
2
по частям:
1
sin
2
4. Дисперсия
b
a
1
2
0
0
2
следнем равенстве будем брать по частям дважды.
77
1
C
x
2
2
0
cos
2
xdxx
1
2
1
2
0
0
dxdUxU
,
1
2
0
0
22
2
12
2
4
33
5.
1
4
1
4
1
4
2
1
2
2
.
2
1
XMXD
4
1
4
1
3
FFXP
Так как из условия задачи
1
функция распределения
;0x
2
1
F
sin
3
3
3
поэтому
,
2
2
2sinsin
sinsin
1
2
0
2
1
4
sin
,2
xdxdUxU
sincos
2
1
cos
xVxdxdV
1
2
sin20
0
xxdxVxdxdV
xdxxxdxxxx
11
coscos
1
2
x
0
dxxxx
11
2
4
1
1
2
0
sinsinsincos
22
2
12
4
1
3
.
1xF при
12
2
222
2
1
x
1311121
1
то
,
3
.
13F ; при
2
1
2
1
3
XP
3
13
2
xxF
sin ; тогда
.134,0866,01
78
Формулы вычисления математических ожиданий и дисперсий
C
x
дискретной и непрерывной случайных величин представлены
в прил. 2.
3.3. Закон равномерного распределения вероятностей
Определение 3.3.1. Распределение вероятностей называют
равномерным, если плотность распределения сохраняет постоян-
ное значение на интервале, которому принадлежат все возможные
значения случайной величины.
То есть плотность распределения
xf
1. Найдем значение постоянной
dxxf
.1
b
a
b
a
abCCxCdxdxxf следовательно,
,1
xf имеет вид
;,0
ax
;,
bxaC
.,0
bx
из условия, что
1
.
abC
2. Построим график плотности равномерного распределения
(рис. 12).
xf
1
ab
0
a
Рис. 12
b
3. Найдем функцию распределения
79
xF :
x
xx
xa
x
x
X
a если ,a
б) если ,b
в) если
то
то
то
,b
ax
ax
dtdttfxF
0
x
dtdttfxF
0
a
b
1
ab
a
ax
xF
ab
График функции распределения
xF
;
dtdttfxF 00
x
11
dt
ab
x
dtdt
0
b
t
ab
a
b
1
ax
;,0
;,
bxa
.,1
bx
t
ab
a
xF имеет вид (рис. 13).
ax
;
ab
ab
.1
ab
0
a
Рис. 13
b
4. Математическое ожидание случайной величины, распреде-
ленной равномерно,
b
1
ab
b
dxxfxXM
ab
a
ab
22
ab
.
xdx
22
2
x
11
ab
2
a
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]